Prueba de la integral de la función de Bessel de orden cero multiplicada por el coseno con argumentos complicados

Question

¿Cómo se puede demostrar que $$ \int_0^\infty J_0\left(\alpha\sqrt{x^2+z^2}\right)\ \cos{\beta x}\ \mathrm{d}x = \frac{\cos\left(z\sqrt{\alpha^2-\beta^2}\right)}{\sqrt{\alpha^2-\beta^2}} $$ para $0 < \beta < \alpha$ y $z > 0$ ? $J_0(x)$ es la función de Bessel de primer orden.

Encontré esta integral en el libro de Gradshteyn y Ryzhik 7ª edición, sección 6.677, la ecuación número 3. ¡Cualquier ayuda y pista será apreciada!

Answer 1

Tenga en cuenta que para $r>0$ se tiene una representación integral $$J_0(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ir\cos\phi}d\phi$$ Por lo tanto, $$I=\int_0^{\infty}J_0\left(\alpha\sqrt{x^2+z^2}\right)\cos \beta x\,dx= \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\alpha\sqrt{x^2+z^2}\cos\phi}\cos\beta x \, d\phi \, dx.\tag{1}$$ Por otro lado, $$\sqrt{x^2+z^2}\cos\phi=z\cos(\phi-\phi_0)+x\sin(\phi-\phi_0),$$ donde $\tan\phi_0=-\frac{x}{z}$ . Intercambiando el orden de integración en (1) y desplazando $\phi$ por $\phi_0$ llegamos a $$I=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\alpha(z\cos\phi+x\sin\phi)}\cos\beta x \, d\phi \, dx.$$ Por último, utilizando esa $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}dx=\delta(\omega)$ obtenemos $$I=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi}e^{i\alpha z\cos\phi}\Bigl[\delta\left(\alpha\sin\phi+\beta\right)+\delta\left(\alpha\sin\phi-\beta\right)\Bigr]d\phi$$ Queda por utilizar $\delta(f(x))=\sum\limits_{\text{zeros of }f}\frac{1}{|f'(x_k)|}\delta(x-x_k)$ y calcular las dos contribuciones procedentes de cada una de las dos funciones delta.