Sobre la existencia de grupos no-abelian

Question

¿Es cierto que para cualquier $n\in \mathbb{Z}$ % y $n\geq 6$ $n$no hay un primer existe un no Grupo abeliano de orden $n$? ¿Cómo podemos demostrarlo?

¿Si la respuesta anterior es negativa es tal vez cierto que hay para cualquier $p$ prime y cultivador de entero positivo de $n$ $3$ un no Grupo abeliano de orden $p^n$?

Answer 1

La respuesta a la $p^{n }$ parte de la pregunta es positiva. Si $p$ es un número primo, y $n$ es un entero mayor que $2,$ entonces no abeliano $p$-grupo de orden $p^{n}.$ la forma más sencilla de ver esto es para hacer el caso $n = 3$ y luego tomar el producto directo de un grupo cíclico de orden $p^{n-3}$ con un no-Grupo abeliano de ord ER $p^{3}.$ si $p =2,$ podemos tomar un grupo de orden $8.$ diedro o cuaternión si $p$ es impar, podemos tomar el grupo $P = \langle x,y : x^{p} = y^{p} = [x,y,x] = [x,y,y] = 1 \rangle,$ que es no abeliano de orden $p^{3}.$