Pruebas para la serie de energía formal

Question

Definitons

Vamos $$\mathbb{C}[[x]] := \left\{ \sum_{n\geq 0} a_n x^n : a_n \in \mathbb{C} \right\}$$ be the set of formal power series of x and $$F(x) = \sum_{n\geq 0} a_n x^n, \; G(x) = \sum_{n\geq 0} b_n x^n \in \mathbb C[[x]] \text{ with } G(0) = b_0 = 0.$$

Ejercicio

i)

Demostrar que $$(F \circ G)(x) = F(G(x)) = \lim\limits_{k \rightarrow\infty} \sum\limits_{n=0}^k a_n G(x)^n$$ exists in $\mathbb{C}[[x]]$.

ii)

Demostrar que $$(F\circ G)'(x) = F'(G(x))G'(x).$$

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I)

No estoy seguro de lo "existente en $\mathbb{C}[[x]]$" realmente significa. ¿Qué es exactamente lo que necesito mostrar aquí?

Ii)

Tuve unos problemas en la diferenciación de los términos. Si $b_n$ $a_n$ sería constante sería fácil y, por ejemplo,$G(x)'$$(\sum_{n\geq 0} b x^n)' = \frac{b}{(x-1)^2}$, pero no lo es. Entonces, ¿cómo lo soluciono?

Gracias de antemano!

Answer 1

No sé si esto es de acuerdo a las reglas del sitio/práctica, pero ya que nadie más picaduras, voy a mover mis comentarios aquí en más editable y espero que también de forma indeleble. Voy a quitar mis comentarios, ahora como que parece ser la práctica habitual.

Para probar la parte i) comenzamos con la observación de que la suposición de $b_0=0$ implica que para todos los enteros positivos el poder de la serie de $G(x)^k$ es de la forma $$ G(x)^k=b_1^kx^k+\sum_{n=k+1}^\infty c_{k,n}x^n $$ para algunos coeficientes de $c_{k,n}$. En el lenguaje de las notas (el enlace se da en Bill Dubuque del comentario) tenemos $\deg G(x)^k\ge k$. Por lo tanto, la suma $$ \sum_{n=0}^\infty a_n(G_n(x))^n $$ converge a un poder formal de la serie de $H(x)\in\mathbf{C}[[x]]$ con respecto al $I$-ádico de la topología. Aquí $I$ es el ideal de la $I=x\mathbf{C}[[x]]$ (véase también la Proposición. 1.1.8 en Dubuque del enlace). La parte i) es resuelto ahora.

Para hacer parte ii) tenemos dos Lemas. No sé, si se les ha dado en su libro de texto y/o notas de la conferencia. El primer Lema es fácil.

Lema 1. Si $F_1(x)$ $F_2(x)$ son de alimentación de la serie en $\mathbf{C}[[x]]$, e $F_3(x)=F_1(x)F_2(x)$ es su producto, entonces su formal derivados de satisfacer la habitual derivada del producto de la fórmula $$ F_3'(x)=F_1(x)F_2'(x)+F_1'(x)F_2(x). $$

Si usted tiene problemas para demostrar este resultado (o la búsqueda de una prueba), por favor, comentario, y voy a insertar aquí.

Corolario. Si $F(x)\in \mathbf{C}[[x]]$ $k$ es un entero positivo, entonces $$ D(F(x)^k)=k F'(x) F(x)^{k-1}. $$

Prueba. Así se desprende del Lema 1 como de costumbre por inducción en $k$.

Lema 2. Si la serie $$ \sum_{n=0}^\infty F_n(x) $$ converge a una suma $F(x)$ en el ring $\mathbf{C}[[x]]$ w.r.t al $I$-ádico de topología (es decir, en el sentido de Dubuque notas), entonces también lo hace la serie $$ \sum_{n=0}^\infty F_n'(x). $$ Además, tenemos la identidad $$ F'(x)=\sum_{n=0}^\infty F_n'(x). $$

Prueba. Si $x^\ell$ divide un sumando $F_n(x)$, entonces claramente $x^{\ell-1}$ divide su derivado $F_n'(x)$. En otras palabras, $\deg F_n'(x)=\deg F_n(x)-1$. Como suponemos que $\deg F_n(x)\to\infty$$n\to\infty$, esto implica que $\lim_{n\to\infty}\deg F_n'(x)=\infty$, por lo que la serie de $\sum_{n=0}F_n'(x)$ converge por la Prop. 1.1.8. La afirmación de que el Lema de la siguiente manera a partir de este, debido a que la secuencia de coeficientes de cualquier poder $x^i$ en la suma eventualmente se convierte en una constante.

De nuevo, si quieres más detalles aquí, sólo hay que preguntar!

Ahora estamos en una posición para rematar la parte ii). Deje $H(x)=F(G(x))$ de las que sabemos que existen en el ring $\mathbf{C}[[x]]$ por la parte i). Primero $$ H'(x)=\sum_{n=0}^\infty D(a_n(G(x))^n $$ por el Lema 2. A continuación para cada $n$ tenemos $D(a_n(G(x))^n=na_n(G(x))^{n-1}G'(x)$ por nuestro Corolario. Por lo tanto $$ H'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(G(x))^{n-1}G'(x). $$ Mediante la aplicación de la parte i) para la alimentación de la serie $F'(x)$ $G(x)$ vemos que la serie en el lado derecho es en realidad $F'(G(x))G'(x)$. Esto completa la prueba de la parte ii).

Answer 2

Para la pregunta #1, me gustaría preguntarle a usted para asegurarse de que usted entiende por qué, si el término constante de $G$ es distinto de cero, la composición no tiene que existir.

Entonces, como una respuesta satisfactoria a #1, me gustaría aceptar un argumento que muestra de manera muy explícita que usted sabe cómo calcular el $n$-ésimo grado coeficiente de $F\circ G$ en un número finito de pasos. En particular, yo podría querer ver la observación de que este coeficiente depende sólo de los polinomios se obtiene a partir de a $F$ $G$ quitándole los términos de grado mayor que $n$.

Para la pregunta #2, usted podría darse cuenta de que es suficiente para mostrar la identidad de $F(x)=x^m$, cada una de las $m\ge 0$. Esto requeriría algún argumento, por supuesto. A continuación, proceder a lo largo de las líneas sugeridas por Jyrki, compruebe que la identidad de hecho presionado por $x^m$.