Nullstellensatz de Hilbert: ¿intersección sobre ideales maximales?

Question

En el álgebra conmutativa de Reid, el autor da algunas exposiciones sobre el Nullstellensatz, $I(V(J))=\operatorname{rad}(J)$ . Pero no puedo entenderlo: El Nullstellensatz dice que podemos tomar la intersección sólo sobre ideales maximales de $k[X_1,\cdots,X_n]$ .

Answer 1

En un anillo conmutativo $A$ un ideal $I\subset A$ tiene dos radicales:
a) El radical nilpotente $\sqrt I=Rad(I)=\cap_{I\subset P \:prime}$ que es la intersección de todos los ideales primos que contienen $I$ .
b) El radical de Jacobson $J(I)=\cap_{I\subset M \: maximal}$ que es la intersección de todos los ideales maximales que contienen $I$ .
Ahora, hay una clase de anillos, merecidamente llamados Jacobson anillos, para los que los dos radicales coinciden. Cualquier álgebra de tipo finito sobre un campo es un anillo de Jacobson, por lo que no hay contradicción en las afirmaciones que mencionas en tu pregunta.

Advertencia Muchos anillos no son anillos de Jacobson. Por ejemplo, un dominio local (A,M) que no es un campo nunca es Jacobson porque el ideal nilpotente $(0)$ tiene $Rad((0))=(0)$ mientras que $J((0))=M$ .
Así que, cuidado: los anillos locales $\mathcal O_{X,x}$ de puntos $x\in X$ de la algebraica afín $k$ -variedad $X=Spec(A)$ son no Jacobson aunque los anillos finitamente generados $k$ -Álgebra $A$ es ¡un anillo Jacobson!

Answer 2

Porque los ideales máximos corresponden a puntos en $k^n$ . Entonces $f(a_1,\ldots,a_n)=0$ si $f \in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ .