¿Por qué este límite de integración?

Question

He sido la solución de los problemas del libro de DeGroot y Schervish y no puedo entender por qué m es el límite superior de la integración en la solución a este problema. ¿Por qué no el de abajo?

Aquí está el problema:

Suponga que una variable aleatoria X tiene una distribución continua para que el p.d.f. f es la siguiente:

$f(x) = 2x$ $0< x <1, 0$ lo contrario

Determinar el valor de $d$ que minimiza $E(|X − d|)$.

Aquí está la solución:

$$\int_0^m 2x \, dx=0.5$$

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El valor de$d$ que minimiza$E(|X-d|)$ es el valor mediano de$X$, es decir, el valor$m$ tal que $$\ Pr (X \ le m) = 0.5 = \ Pr (X \ ge m).$$

Por lo tanto, para las distribuciones continuas es el valor de$m$ para el cual $$\ int _ {- \ infty} ^ m f_X (x) \, dx = 0.5 = \ int_m ^ \ infty f_X (x) \, dx.$$

En su caso, desea $$\ int_0 ^ m 2x \, dx = 0.5 = \ int_m ^ 1 2x \, dx.$$ Entonces$m^2 -0^2 = 0.5 = 1^2-m^2$. En consecuencia,$m= \sqrt{0.5}= \sqrt{2}/2$.

Answer 2

Notaré una cosa importante sobre la pregunta. Obtendrá $$E^{'}[X]=1-2d^2$$ as @nbubis wrote down already. When you find $$E^{''}[X]=-4d$$ and since $d \ in [0,1]$ you have $$E^{''}[X]<0 lo que indica que tiene un máximo del mínimo como lo indicó en la pregunta EDITAR: El resultado se basó en $$E^{'}[X]=1-2d^2$$ Since it is $$E^{'}[X]=2d^2-1,, hay un mínimo. Yo no resolví la primera derivada por mí mismo sólo copiado.

Answer 3

El valor esperado viene dado por (suponiendo que$d$ está en$[0,1]$): $$E = \int_0^1{2x|x-d|}dx = \int_0^d{2x(d-x)}dx + \int_d^1{2x(x-d)}dx$$$ $= -\frac{2}{3} + d - \frac{2d^3}{3}$ $Derive by$d$y compare a cero:$$E' = 1 - 2d^2 = 0 \rightarrow d = \frac{1}{\sqrt{2}}$PS