¿Cuál es la constante más pequeña que ha aparecido explícitamente en un artículo publicado?

Question

Se puede leer mucho sobre lo que son los números grandes en matemáticas, como El número de Skewes , El número de Moser o incluso El número de Graham .

Así que, en aras de la no discriminación, pregunto, ¿cuál es la constante más pequeña $\epsilon$ que haya aparecido explícitamente en un artículo publicado?

Comentario: Como de costumbre, vamos a suponer $\epsilon >0$ ¡! Y sólo se permiten números en el dominio de los números reales (gracias a Holowitz).

Answer 1

Este es un caso en el que $10^{-2576}$ surgió.

En 1928, A. S. Besicovitch introdujo y estudió los sistemas regulares e irregulares $1$ -en el plano (una noción fundamental en la geometría fractal). Demostró que la parte inferior $1$ -densidad de un regular $1$ -Configurar $E$ en el plano es igual a $1$ (el máximo valor posible) en casi todos los puntos (medida de Lebesgue) en $E$ . Para mostrar lo diferente que es la irregularidad $1$ -en el plano, Besicovitch demostró que los conjuntos inferiores $1$ -densidad de un irregular $1$ -Configurar $F$ en el plano está acotado por debajo de $1$ en casi todos los puntos (de medida de Lebesgue) en $F$ . El límite que Besicovitch obtuvo en 1928 fue $1 - 10^{-2576}$ .

En 1934, Besicovitch consiguió mejorarla hasta $\frac{3}{4}$ . [Véase la sección 3.3 de Kenneth J. Falconer, La geometría de los conjuntos fractales Cambridge University Press, 1985]. "Besicovitch's $\frac{1}{2}$ -El "problema" (creo que actualmente no está resuelto) consiste en encontrar el mejor límite superior en casi todas partes para los conjuntos irregulares. El propio Besicovitch demostró con un ejemplo concreto que este límite es al menos $\frac{1}{2},$ y conjeturó que es igual a $\frac{1}{2}.$ En 1992, David Preiss y Jaroslav Tiser demostraron que el límite es como máximo $\frac{2 \;+ \;\sqrt{46}}{12},$ que es aproximadamente $0.73186.$ Para saber más sobre los Besicovitch $\frac{1}{2}$ -problema, véanse los documentos de Hany M. Farag en

http://www.math.caltech.edu/people/farag.html

(50 minutos después)

Aquí hay más información sobre la primera referencia de Besicovitch:

En la página 454 del documento siguiente, sobre $\frac{2}{3}$ en la parte inferior de la página, se encuentra lo siguiente (cursiva en el original). [Nota: El documento está disponible gratuitamente en Internet].

En casi todos los puntos de un conjunto irregular la densidad inferior es menor que $1 - 10^{-2576}.$

Abram Samoilovitch Besicovitch (1891-1970), Sobre las propiedades geométricas fundamentales de los conjuntos de puntos planos linealmente medibles , Mathematische Annalen 98 (1928), 422-464.

Answer 2

El artículo "Strange Series and High Precision Fraud", J. M. Borwein y P. B. Borwein, The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 7, (Ago-Sep, 1992), pp. 622-640, contiene algunos términos de error pequeños interesantes. En particular, en la página 639: $$\left|\sqrt\pi-\left(\frac{1}{10^5}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-n^2/10^{10}}\right)\right|\leq 10^{-4.2\cdot 10^{10}} $$