Un problema interesante de Real Analysis-Abbot

Question

Esto está sacado de "Análisis de la comprensión"- Abbot,

Ejercicio 4.5.8 : Imagina un reloj en el que la aguja de las horas y la de los minutos no se distinguen entre sí. Suponiendo que las agujas se muevan continuamente alrededor de la esfera del reloj, y suponiendo que sus posiciones puedan medirse con perfecta precisión, ¿es siempre posible determinar la hora?

Desde mi punto de vista, creo que SÍ podemos saber la hora porque si observas durante, digamos, 5 minutos, puedes ver que el minutero se mueve más rápido que la manecilla de las horas. Teniendo eso, puedes determinar cuál es la manecilla de las horas y cuál es la de los minutos, y por lo tanto, puedes deducir fácilmente la hora exacta. Sin embargo, esto no es muy matemático, y aunque hay una solución para esta pregunta, no quiero mirarla, así que sería mejor que me inventara mi propia solución original.

Por favor, ayúdeme, ¿he respondido correctamente a esta pregunta? ¿Cómo puedo avanzar en mi argumento hasta llegar a una declaración de prueba sólida? Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Toma $[0,1]$ como un intervalo de 12 horas. Entonces es fácil ver que en el momento $t \in [0,1]$ la aguja horaria tiene un ángulo de $2\pi t$ (en radianes), mientras que el minutero tiene un ángulo de $24\pi t$ .

Así, podemos considerar un modelo de reloj con la siguiente función $$f: [0, 1) \longrightarrow S^1 \times S^1$$ $$t \mapsto (e^{2i\pi t}, e^{24i\pi t})$$

Si las dos agujas fueran distinguibles, entonces claramente podríamos decir qué hora es igual que viendo el reloj, ya que la función $f$ es inyectiva.

Ahora, su problema equivale a preguntarse si el siguiente sistema tiene solución $$\left\{ \begin{matrix} e^{2i \pi t} = e^{24i \pi s} \\ e^{2i \pi s} = e^{24i \pi t} \end{matrix} \right. $$ donde $s \neq t$ son dos momentos distintos en el intervalo $[0,1)$ . Este sistema equivale a pedir que $t-12s, s-12 t$ son enteros. Por ensayo y error, descubrí que existe al menos una solución, precisamente $$(t,s) = \left( \frac{12}{143} , \frac{1}{143}\right)$$ es la solución de $$ \left\{ \begin{matrix} t -12s &=& 0 \\ s - 12 t &=& -1 \end{matrix} \right.$$

por lo que la respuesta es que existen tiempos distintos correspondientes a representaciones equivalentes del reloj, sin embargo es fácil ver que sólo son un número finito.