Estoy tratando de evaluar:
∬
donde D_{xy} es el disco de x^2+y^2\le a^2.
El ejercicio es para el cambio de uso de variables para resolver esta integral.
Mi solución
Elegí \varphi (r,\theta)=(ra\cos\theta,ra\sin\theta) donde 0\le r\le 1 0\le \theta\le 2\pi a ser el cambio de variables.
El determinante del Jacobiano es ra^2 y \begin{align*} &\iint_{D_{xy}}\left(\sqrt{a^2-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}~\right)dxdy \\&=\int_0^{2\pi}\int^1_0\left(\sqrt{a^2-r^2a^2}-ra\right)ra^2 drd\theta\\ &=2\pi a^3\int^1_0 \left(r\sqrt{1-r^2}-r^2 \right)dr\\ &=2\pi a^3\left(\int^1_0r\sqrt{1-r^2}dr-\int^1_0r^2dr\right)\\ &=2\pi a^3\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3} \right)\\ &=0 \end{align*}
Me gustaría saber donde me equivoco. La respuesta al final del libro muestra \pi a^3/3.