Ayuda para el cambio de uso de variables para resolver la integral doble

Question

Estoy tratando de evaluar:

$$\iint_D \left(\sqrt{a^2-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}~\right)dxdy$$

donde $D_{xy}$ es el disco de $x^2+y^2\le a^2$.

El ejercicio es para el cambio de uso de variables para resolver esta integral.

Mi solución

Elegí $\varphi (r,\theta)=(ra\cos\theta,ra\sin\theta)$ donde $0\le r\le 1$ $0\le \theta\le 2\pi$ a ser el cambio de variables.

El determinante del Jacobiano es $ra^2$ y $$\begin{align*} &\iint_{D_{xy}}\left(\sqrt{a^2-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}~\right)dxdy \\&=\int_0^{2\pi}\int^1_0\left(\sqrt{a^2-r^2a^2}-ra\right)ra^2 drd\theta\\ &=2\pi a^3\int^1_0 \left(r\sqrt{1-r^2}-r^2 \right)dr\\ &=2\pi a^3\left(\int^1_0r\sqrt{1-r^2}dr-\int^1_0r^2dr\right)\\ &=2\pi a^3\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3} \right)\\ &=0 \end{align*}$$

Me gustaría saber donde me equivoco. La respuesta al final del libro muestra $\pi a^3/3$.

Answer 1

La respuesta es cero; la respuesta en el libro es incorrecta.

Para comprobarlo, vamos a demostrar que las siguientes integrales (desde su derivación anterior) son iguales:

$$A = \int_0^1 r\sqrt{1 - r^2} dr$$ $$B = \int_0^1 r^2 dr$$

Vamos a cambiar la variable en $A$:

$$\quad t^2 = 1 - r^2 \Rightarrow 2tdt = -2rdr\Rightarrow rdr = -tdt.$$

Por lo tanto,

$$A = \int_0^1 \sqrt{1 - r^2}\;rdr = - \int_1^0 t^2 dt = \int_0^1 t^2 dt$$

Por lo tanto, $A$ $B$ son iguales.

Answer 2

Sólo por diversión, me imagino que muestran que la respuesta es, de hecho, cero mediante una sustitución directa sin ningún tipo de evaluación de una integral.

Vamos $$(x,y)=\frac{\sqrt{a^2-\hat{x}^2-\hat{s}^2}}{\sqrt{\hat{x}^2+\hat{s}^2}} (\hat x,\hat y)$$ Ahora, un cálculo rápido se confirme que el determinante del Jacobiano es $-1$ (y por lo tanto el factor multiplicador es 1), y al que se asigna el disco de radio $a$ sobre sí mismo.

La aplicación de nuestro proceso de transformación, obtenemos $$\begin{align} I&=\iint_D\left(\sqrt{a^2-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}\right)dxdy\\ &=\iint_D\left(\sqrt{\hat x^2+\hat y^2}-\sqrt{a^2-\hat x^2-\hat y^2}\right)d\hat xd\hat y\\ &=-I \end{align}$$ Por lo tanto, $I=0$.