Probando $d$ es una métrica en $X$ a partir de las propiedades dadas de $d$

Question

Q. Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío y $d\colon X\times X\to\Bbb R$ sea una función que satisfaga las dos condiciones siguientes:

i) $d(x,y)=0\iff x=y$

ii) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)~~\forall~x,y,z\in X$ . Demostrar que $d$ es una métrica en $X$ .

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Mi intento:

Hasta ahora, he demostrado que $d(x,y)\geq 0~\forall~x,y\in X$ pero estoy atascado en mostrar la simetría. Esto es lo que hice:

Configurar $y=x$ en (ii), obtenemos $2d(x,z)\geq d(x,x)=0\implies d(x,z)\geq 0~\forall~x,y,z\in X$ . Desde $z$ es un elemento arbitrario de $X$ podemos sustituirlo por $y$ que también es un elemento arbitrario de $X$ y concluir que $d(x,y)\geq 0~\forall~x,y\in X$ . Esto, junto con (i), demuestra que $d$ es no negativo y satisface la identidad de los indiscernibles.

Ahora, el ajuste $z=x$ en (ii), obtenemos, $$d(x,y)\leq d(x,x)+d(y,x)\implies d(x,y)\leq d(y,x)~\forall~x,y,z\in X$$

Estoy atascado en mostrar $d(y,x)\leq d(x,y)$ lo que me permitiría concluir que $d(x,y)=d(y,x)$ es decir, $d$ es simétrica.

Puedo ver que si pruebo que $d$ es simétrica, la desigualdad del triángulo se deduce trivialmente de (ii) y $d(y,z)=d(z,y)$ y la prueba de que $d$ es una métrica en $X$ está hecho.

¿Puede alguien ayudarme con la parte de la simetría? Gracias de antemano.

Answer 1

Simplemente deja que $z=y$ y aplique el mismo método que utilizó para probar la otra dirección, invirtiendo el orden de $x,y$ .

Answer 2

Arreglar $a, b \in X$ .

Dejemos que $x=a, y=b, z=a$ . Tenemos

$$d(a, b) \leq d(a, a) + d(b, a) = d(b, a)$$

Por otro lado, poner $x=b, y=a, z = b$ . Tenemos

$$d(b, a) \leq d(a, b) + d(b, b) = d(a, b)$$

y por lo tanto $d(a, b) = d(b, a)$ .

Answer 3

Es sólo un problema de anotación.

Arreglar $x_0,y_0\in X$ . Entonces ya ha demostrado que $\forall x,y\in X,d(x,y)\leq d(y,x)$ (*).

Lo aplicamos a $x=y_0$ y $y=x_0$ (¿Por qué no? Es cierto para todos $x,y\in X$ ) y obtenemos: $$d(y_0,x_0)\leq d(x_0,y_0)$$

Aplicamos (*) a $x=x_0$ y $y=y_0$ y nosotros sí: $$d(x_0,y_0)\leq d(y_0,x_0)$$

Ahora bien, todo lo anterior no dependía de los valores particulares de $x_0$ y $y_0$ para que $$\forall x_0,y_0\in X,\;d(x_0,y_0)=d(y_0,x_0)$$