¿Qué es el "componentes de varianza de parámetros" en el modelo de efectos mixtos?

Question

En la página 12 de Bates' libro sobre el modelo de efectos mixtos, se describe el modelo de la siguiente manera:

Cerca del final de la captura de pantalla, él menciona que la

relación de covarianza factor de $\Lambda_{\theta}$, dependiendo de la varianza de la componente parámetro, $\theta$

sin explicar cuál es exactamente la relación. Decir que hemos dado $\theta$, ¿cómo podemos derivar $\Lambda_{\theta}$ a partir de ella?

En una nota relacionada, este es uno de los muchos instancia en la que me encuentro Bates' exposition a ser un poco carente de detalles. Hay un texto mejor que realmente va a través de la optimización del proceso de estimación de parámetros y la prueba de la distribución del estadístico de prueba?

Answer 1

La siguiente es mi mejor conjetura, después de leer el libro.

La relación de covarianza factor, $\Lambda_\theta$ $q \times q$ matriz (dimensiones se explican en el extracto que has publicado).

Para un modelo con un simple escalar de efectos aleatorios plazo, (p. 15, Fig. 1.3) se calcula como un múltiplo de $\theta$ y la matriz identidad de dimensiones $q \times q$:

$$\Lambda_\theta = \theta \times {I_q}$$

This is the general way to calculate $\Lambda_\theta$, and it is modified according to the number of random-effects and their covariance structure. For a model with two uncorrelated random-effects terms in a crossed design, as on pp. 32-34, it is block diagonal with two blocks each of which is a multiple of $\theta$ and identity (p. 34, Fig. 2.4):

Same with two nested random-effects terms (p. 43, Fig. 2.10, not shown here).

For a longitudinal (repeated-measures) model with a random intercept and a random slope which are allowed to correlate $\Lambda_\theta$ consists of triangular blocks representing both random-effects and their correlation (p. 62, Fig. 3.2):

Modelling the same dataset with two uncorrelated random-effects terms (p. 65, Fig. 3.3) returns $\Lambda_\theta$ of the same structure as shown previously, in Fig. 2.4:

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Additional notes:

The variance-component parameter vector $\theta$ is estimated iteratively to minimise the model deviance $\widetilde{d}$ according to eq. 1.10 (p. 14).

$\theta_i = \frac{\sigma_i}{\sigma}$ Donde $\sigma_i$ se refiere a la raíz cuadrada de la i-ésima de efectos aleatorios varianza, y $\sigma$ se refiere a la raíz cuadrada de la varianza residual (compare con las páginas 32-34).

La versión del libro de 25 de junio de 2010, se refiere a una versión de lme4 el cual ha sido modificado. Una de las consecuencias es que en la versión actual 1.1.-10. el modelo de efectos aleatorios clase de objeto merMod tiene una estructura diferente y $\Lambda_\theta$ se accede de una manera diferente, utilizando el método getME:

image(getME(fm01ML, "Lambda"))

Answer 2

Es jerárquica de razonamiento. Hay un montón de parámetros en el modelo lineal, los componentes de b. En un puro modelo de efectos fijos que usted acaba de obtener las estimaciones de estos y eso sería todo. En su lugar, usted se imagina que los valores de b mismos provienen de una distribución normal multivariante con una matriz de covarianza, que es parametrizada por theta. Aquí está un ejemplo sencillo. Supongamos que miramos animal cuenta en cinco diferentes períodos de tiempo en 10 lugares diferentes. Nos gustaría obtener un modelo lineal (estoy usando R hablar aquí) que parecen contar ~ + (factor de ubicación), por lo que tendría (en este caso) común de la pendiente para todos los de la regresión (uno en cada lugar), pero una intercepción diferente en cada lugar. Podríamos punt y llamar a un modelo de efectos fijos y la estimación de todos los intercepta. Sin embargo, queremos que no pueden cuidar acerca de los lugares en particular si eran 10 lugares seleccionados de un gran número de lugares posibles. Por eso, pusimos un modelo de covarianza en las intersecciones. Por ejemplo, podemos declarar el intercepta a ser multivariante normal e independiente con el común de la varianza sigma2. A continuación, sigma2 es el "theta" parámetro, ya que caracteriza a la población de la intercepta en cada ubicación (que son por lo tanto de efectos aleatorios).