Pregunta en Sakurai del tratamiento del Oscilador Armónico:

Question

En la Sección 2.3 de la segunda edición de la Moderna Mecánica Cuántica (que describe el oscilador armónico), Sakurai se deriva de la relación $$Na\left|n\right> = (n-1)a\left|n\right>,$$ y los estados que

esto implica que $a\left|n\right>$ $\left|n-1\right>$ son de la misma hasta un multiplicativo constante.

A mi sensibilidad, esto es sólo implícita si la $\lambda$-espacio propio del operador número $N:=a^{\dagger}a$ correspondiente a $\lambda=n-1$ es unidimensional. Si es multidimensional, entonces no podemos decir que $a\left|n\right>$ $\left|n-1\right>$ son proporcionales. Así (a menos que he hecho fundamental de error) ¿cómo sabemos que el $\lambda$ subespacios propios de a $N$ son unidimensional?

Answer 1

OP escribió(v1):

Así (a menos que he hecho fundamental de error) ¿cómo sabemos que el $\lambda$-subespacios propios de a $N$ son unidimensional?

Sí, OP está a la derecha. En general, no podemos saber. Existen reducible unitario de representaciones de los Heisenberg álgebra $[a,a^\dagger]=1$, donde los autovalores de a $N$ son degenerado.

Sin embargo, si uno supone que el ket espacio de Hilbert es un no-trivial irreductible unitaria representación de Heisenberg álgebra, entonces se puede demostrar que los valores propios de a $N$ debe ser no-degenerado. Ver, por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.