Demostrar la desigualdad de $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \leq \frac{1}{4}(a-b)(\ln(a)-\ln(b))$

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad:

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \leq \frac{1}{4}(a-b)(\ln(a)-\ln(b))$$

para todos los $a>0, b>0$.

¿Alguien sabe cómo demostrarlo?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Wlog a>b, entonces por Cauchy-Swartz $$\left(\int_b^a \ 1\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx\right)^2\leq\int_b^a \ 1\ dx \cdot\int^a_b \frac{1}{x}\ dx$$

Answer 2

Dado que la desigualdad es homogéneo e invariantes en el intercambio de las variables, podemos suponer que la $b=1$$a \ge 1$. Entonces, para demostrar que $$f(a) = \frac{1}{4}(a-1)\log(a) - (\sqrt{a} - 1)^2 \ge 0.$$ Observe que $f(1) = 0$. Por lo tanto vamos a hacer si podemos demostrar que $f$ es cada vez mayor. La diferenciación de da $$f'(a) = \frac{1}{4} \log(a) + \frac{1}{4} \frac{a-1}{a} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$$ y $f'(1) = 0$. Así estamos de hecho si podemos demostrar que $f'$ es cada vez mayor. Diferenciar una vez más da $$f''(a) = \frac{1}{4a} + \frac{1}{4a^2} - \frac{1}{2a\sqrt{a}}.$$ Ahora $f''(a) \ge 0 \Leftrightarrow a + 1 - 2 \sqrt{a} \ge 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 \ge 4a \Leftrightarrow (a-1)^2 \ge 0$, lo cual es cierto.

Answer 3

No restictive asumir $a>b$, así que podemos escribir $a=e^{2s}$, $b=e^{2t}$, con $s>t$ y la desigualdad para demostrar que se convierte en $$4(e^s-e^t)^2\le(e^s-e^t)(e^s+e^t)(2-2t)$$ o $$\frac{e^s-e^t}{s-t}\le\frac{e^s+e^t}{2}$$ Por Lagrange del teorema, sabemos que $$\frac{e^s-e^t}{s-t}=e^u$$ para algunos $u$, $t<u<s$, así que queremos $$e^u\le \frac{e^s+e^t}{2}$$ lo cual es cierto para todos los $u\in(t,s)$ por la convexidad de la función exponencial.

Answer 4

La igualdad tiene por $a=b$, por lo que podemos considerar el caso de $a>b$. En este caso, para mostrar esta desigualdad es equivalente a demostrar que $$4\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq(\ln(a)-\ln(b)).$$ Como $a>b>0$, podemos suponer que $a=e^x$ $b=e^y$ donde $x>y,\ x,y\in\mathbf{R}$. Así que tenemos que demostrar que $$4\frac{e^\frac{x}{2}-e^\frac{y}{2}}{e^\frac{x}{2}+e^\frac{y}{2}}\leq(x-y),$$ o $$4\frac{e^\frac{x-y}{2}-1}{e^\frac{x-y}{2}+1}\leq(x-y).$$

Ahora, denotan $\frac{x-y}{4}=z$, el problema se vuelve a demostrar que para $z>0$ la siguiente desigualdad se cumple $$\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}\leq{z}.$$

Obviamente, esto tiene para $z\geq{1}$. Tan solo tenemos en cuenta el caso de $0<z<1$, y tenemos que $$\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}=\frac{2(z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)}{2(1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+...)}\leq{z}.$$

Answer 5

La desigualdad que es otra forma de un conocido desigualdades:

Para $0<y<x$ $$\sqrt{xy}<\frac{x-y}{\ln x-\ln y} < \frac{x+y}{2}. (1)$$ Para $a>b$ la desigualdad de la enunciación transformar así: $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 < \frac{1}{4}(a-b)(\ln a-\ln b)<=>$$ $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 < \frac{1}{4}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\ln a-\ln b)<=>$$ $$\sqrt{a} - \sqrt{b} < \frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\ln \sqrt{a}-\ln \sqrt{b})<=>$$ $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b} }{\ln \sqrt{a}-\ln \sqrt{b}}< \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$$ que se obtiene a partir de (1) por $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}.$