¿Por qué la eliminación gaussiana no conserva la similitud de una matriz?

Question

Estoy intentando comprender la reducción de una matriz cuadrada real asimétrica a la forma de Hessenberg de Recetas Numéricas Vol. 3.

En él, el autor afirma que no se utiliza la eliminación de Gauss para reducir a la forma de Hessenberg porque la eliminación de Gauss no preserva la similitud y, por tanto, acaba cambiando los valores propios de la matriz, lo que no es deseable.

¿Por qué la eliminación gaussiana no conserva la similitud?

Además, ¿qué condiciones deciden si una determinada transformación matricial preserva la similitud?

Aquí tiene Enlace Google Books donde lo encontré. En caso de que no puedas verlo, está en la página 594 de Numerical Recipes in C++ (Volume 3).

Answer 1

En la eliminación gaussiana, dada una matriz $A$ se aplica una secuencia de operaciones de fila elementales $E_1,\ldots,E_k$ para obtener una forma escalonada de filas $B$ de $A$ : $$\tag{1} B=E_k\cdots E_1A=:EA. $$

Dos matrices $A$ y $B$ son similares si y sólo si existe un no singular $X$ tal que $$\tag{2}B=XAX^{-1}.$$ Así que no hay ninguna buena razón para $A$ y $B$ en (1) deberían ser similares (a menos que, por supuesto, $E=I$ ).

Si se desea preservar la similitud mediante las operaciones elementales utilizadas en la eliminación de Gauss, es necesario aplicarlas "simétricamente", por ejemplo, teniendo una operación elemental $\tilde{E}$ , $\tilde{E}A\tilde{E}^{-1}$ es una transformación de similitud de la forma (2) (nótese que las operaciones elementales de fila son fácilmente invertibles).

Considerando la reducción a la forma de Hessenberg, mientras se pone a cero la parte de la matriz por debajo de la primera subdiagonal, cada operación de fila tiene que acoplarse aplicando su inversa desde la derecha.

Answer 2

Puedes usar Gauss para tomar la matriz \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 &1 \end{array} \(derecha) \fin{ecuación} A la matriz identidad. Dado que la identidad sólo es similar a sí misma, la eliminación de Gauss no respeta la similitud.

Answer 3

La eliminación de Gauss preserva la similitud si multiplicas EA por E^-1 como puedes ver en este ejemplo

no es similitud unitaria sino semejanza. Este algoritmo estaba en la antigua biblioteca EISPACK pero se ha dejado fuera de LAPACK. Ver el hermoso libro de Watkins D.S. Fundamentals of matrix computations en la página 358.