Deje $A$ ser una matriz invertible, y deje $E$ ser una triangular superior de la matriz con ceros en la diagonal. Suponga que $AE=EA$. Demostrar que la matriz de $A+E$ es invertible. WLOG, podemos suponer $E$ es Jordan en la forma. Si $A$ es Jordan en la forma, es trivial. Si $A$ no es Jordan en la forma, de cómo utilizar $AE=EA$ a transformar $A$ a un Jordan en la forma? Alguna sugerencia? Gracias.
Respuesta
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$E^n=0$ y desde $A,E$ conmutar tiene
$$A^{2n+1}=A^{2n+1}+E^{2n+1}=(A+E)(A^{2n}-A^{2n-1}E+...+E^{2n})$$
Desde $A^{2n+1}$ es invertible, se deduce que el $A+E$ es invertible.
P. S. yo sólo se utiliza en la prueba de que $E$ es nilpotent y desplazamientos con $A$, por tanto, más en general, se sostiene que en (cualquier anillo), si $A$ es invertible, $E$ es nula, potente y $AE=EA$ $A\pm E$ es invertible.
