Es la función compleja diferenciable en (0,0)?

Question

(en el Complejo) $$ g(z) = \begin{cases} \frac{z^5}{|z|^4} & \text{if %#%#%} \\ 0, & \text{if %#%#% } \end{casos} $$

Para la función anterior, es diferenciable en a $z \neq 0$? Estoy intentando utilizar el siguiente teorema para resolverlo:

Deje $z = 0$ ser definida en algún conjunto abierto G que contiene el punto de $z=0$. Si el primer parcial derivados de u y v existe en G son continuas en a $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ y satisfacer la C-R ecuaciones en $z_0$, entonces f es diferenciable en a $z_0$.

Yo diría que, desde el $z_0$ si $z_0$ C-R contiene a $g(z)=0$ y que el primer parcial derivados existen en $z=0$, pero no estoy seguro acerca de los parciales derivados continua en $0$ (¿cómo puedo ver que)?

Answer 1

Tratando de uso de Cauchy-Riemann aquí no ayuda porque los parciales no son continuas. De hecho, esta un ejemplo de una función que satisface la de Cauchy-Riemann, ecuaciones en un punto, pero no es diferenciable allí.

Para demostrar que no es diferenciable en el origen, el uso de la definición: $$\lim \limits_{z\to 0}\left(\dfrac{g(z)}z\right)=\lim \limits_{z\to 0}\left(\dfrac{z^4}{|z|^4}\right).$$

Ahora, considere el $\theta$-sublimits $\lim \limits_{\rho \to 0}\left(\dfrac{\left(\rho e^{i\theta}\right) ^4}{\left|\rho e^{i\theta}\right|^4}\right)$ donde $\theta\in \mathbb R$. A la conclusión.

Answer 2

Aquí es una aproximación:

Tenga en cuenta que para $x$ real tenemos $g(x) = x$, por lo que si $g$ fue diferenciable, debemos tener $g'(0) = 1$.

Ahora echa un vistazo a $|{g(z)-g(0) \over z}-1| = | {z^5 \over z|z|^4} -1 | = | {z^4-|z|^4 \over |z|^4}|$. Esto puede ser hecho arbitrariamente pequeño?

Habiendo hecho eso, esto sugiere mirando a $g(x e^{i {\pi \over 4}})$ (por ejemplo) por $x$ real.

Answer 3

Considere la posibilidad de $g$ como una función de $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$donde $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^2$ es un vector bidimensional del espacio. Vamos a encontrar el verdadero derivadas direccionales en $(0,0)$. Para $z\in \mathbb{C}$ $t >0$ hemos

$$\frac{g(tz) - g(0)}{t}= \frac{(tz)^5}{|t z|^4 t}= \frac{t^5 z^5}{t^5 |z^4|} = (\frac{z}{|z|})^4 \cdot z$$

Por lo tanto, el real derivada direccional en la dirección $z$$(\frac{z}{|z|})^4 \cdot z$. Esta función $$z \mapsto (\frac{z}{|z|})^4 \cdot z$$

no es un $\mathbb{R}$-lineal mapa. Por lo tanto, $g$ no es real diferenciable en a $(0,0)$, por lo que tampoco complejo diferenciable.

Tenga en cuenta que $$\frac{\partial g}{\partial x} = 1\\ \frac{\partial g}{\partial y} = i$$

por lo $\frac{\partial g}{\partial y}= i \cdot \frac{\partial g}{\partial x}$ así que la de Cauchy-Riemann son igualdades espera. El problema es que $g$ no es real diferenciable en $(0,0)\ \ \ $ $\tiny{ \text{Cauchy-Riemann:} \frac{\partial g}{\partial (iy)}= \cdot \frac{\partial g}{\partial x} }$

Obs: Vamos a comprobar que el mapa $z \mapsto (\frac{z}{|z|})^4 \cdot z$, $0\mapsto 0$ no es aditivo. De hecho, $1\mapsto 1$, $i \mapsto i$ pero $(1+i) \mapsto -(1+i)$.