Demostrar que la secuencia de $p_i$ es limitada

Question

Deje $p_1,p_2,...$ ser una secuencia de números naturales. $p_1$ $p_2$ son el primer y el $p_n$ $n\ge 3$ es el mayor divisor primo de $p_{n-1}+p_{n-2}+2014$. Demostrar que $(p_n)$ está acotada.

Answer 1

Deje $P_n = \max(p_1,\ldots,p_n)$. Nos muestran que $p_{n+1} \leq P_n + 2016$.

Si $p_n=2$ o $p_{n-1}=2$ esto se deduce de la $p_{n+1} \leq p_n + p_{n-1} + 2014$. Si $p_n$ $p_{n-1}$ son ambos impares, a continuación, $p_n + p_{n-1} + 2014$ es aun así hemos $p_{n+1} \leq \frac12(p_n + p_{n-1} + 2014) < P_n + 2016$ (tenga en cuenta que esto también es cierto cuando se $p_n + p_{n-1} + 2014$ pasa a ser un poder de $2$).

Así que para llegar a un gran primer $Q$, primero tenemos que llegar a un prime en el intervalo de $[Q, Q-2016]$. Sin embargo, hay arbitrariamente largos tramos de arbitrariamente grande, compuesto de números (por ejemplo, $N!+2$, $N!+3$, ..., $N!+N$ da $N-1$ consecutivos compuesto de números) así que nuestra secuencia de números primos estará limitado.

Answer 2

Esta es una solución parcial, para las secuencias que no tienen $2$ en ellos.
Si $2$ no aparece, a continuación, $p_n$ son de todos los impares. Si $p_n$ es también ilimitada, a continuación, ir más allá de 100000, debe haber varios términos en una fila con $p_{n+2}=(p_n+p_{n+1}+2014)/2$, $p_{n+3}=(p_{n+1}+p_{n+2}+2014)/2$. El resto al dividir por $5$ debe seguir una de las siguientes secuencias $$\{1,1,3,4,3,3,0\}, \{1,2,1,1\}, \{1,4,2,0\}, \{2,3,2,2,4,0\}, \{3,1,4\}, \{3,3,0\}, \{4,4,1,2\}$$
así que una de las $p_n$ es un múltiplo de a $5$. Esto contradice $p_n$ siendo el primer y mayor que $90000$. Así que no puede tener diez números impares consecutivos sin algunos $p_{n+2}\leq(p_n+p_{n+1}+2014)/4$.

Si $2$ no aparece, a continuación debe aparecer infinitamente a menudo, de lo contrario la primera mitad de esta prueba se aplica. Deje $q_m=p_{i_m}$ ser la secuencia de $p_n$ inmediatamente antes de cada una de las $2$. Supongamos $q_{k+1}>q_k$ $q_k$ lo suficientemente grande. No podemos darnos el lujo de dividir un numero por más de 2, o de los números impares por más de 1. Esto obliga a la siguiente secuencia: $$q_m,2,q_m+2016,q_m+4032,q_m+4031$$
Pero $q_m+4031$ es aún, y tenemos una contradicción, por lo $2$ debe aparecer en lugar de $q_m+4031$. Así que la única manera de que $q_{m+1}>q_m$ si $q_m$ es lo suficientemente grande, es si $q_{m+1}=q_m+4032$.
Si $q_{m+1}<q_m$, entonces debe haber habido una reducción por un factor de $2$ en algún punto, con un máximo de dos aumentos por $2016$ y diez aumentos por $2014/2$. Para asegurarse de que $q_m$ de aumento unboundedly, necesitamos varios aumentos de $q_m$ sin reducir entre. Pero entonces vamos a tener una secuencia $q_m+4032k, (k=1,2,3,4,5)$, uno de los cuales es un múltiplo de a $5$, y tenemos una contradicción.