Supongamos $A=A_1dx_1+A_2dx_2$ es una 1-forma de conexión en $\mathbb{R}^2$ $D_A \phi=d\phi-iA\phi$ es la medida derivada covariante con $\phi=\phi_1+i\phi_2$ es un complejo campo escalar. Puedo preguntar cuál es el adjoint $D^*_A$ en el indicador derivada covariante? Muchas gracias.
Respuesta
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Para $D=d+A$,con respecto a la costumbre producto interior en $\mathbb{R}^2$ y los inducidos por él en formas diferenciales, uno ha $D^{*}_{A}=-*D_{A} *$ donde $*$ representa la estrella de hodge operador. Por ejemplo, $$D^{*}_A (f_1dx_1+f_2dx_2)=-*D_{A} *(f_1dx_1+f_2dx_2)=-*D_{A} (f_1dx_2-f_2dx_1)=-*(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+A_1f_1+A_2f_2)dx_1\wedge dx_2=-(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+A_1f_1+A_2f_2).$$
Para comprobarlo, se considera apagar $A$, y haciendo la prueba en una forma exacta, es decir,$f_i=\frac{\partial \phi}{\partial x_i}$, y el de arriba da $d^{*}d$ a ser el habitual operador Laplaciano en $\mathbb{R}^2$, pero con un signo menos, que de hecho es lo que uno espera de general de los cálculos.
