No Estándar De Los Números Complejos

Question

Hay un aspecto de la No-Estándar en el Análisis que hace bastante tiempo que no puedo conseguir mi cabeza alrededor. He hecho algunas investigaciones sobre esta plataforma, para evitar un doble exacto de respuesta, o que pudiera derivarse, pero creo que mi pregunta no tiene respuesta. Estoy feliz de recibir enlaces a los hilos que me perdí.

Así, se puede construir No Estándar de reales, decir a través de un ultrafilter. Entonces, infinitesimals no estándar en el reino son las clases de equivalencia de secuencias nulas. Infinito no estándar reales son clases de equivalencia de la real secuencias que son ilimitados (positivo y el signo negativo) Para la alternancia de secuencias como (-1, +1, -1, +1,...), hay un conjunto infinito en el ultrafilter que hace determinar que los +1, -1 es. Así que todos los hyperreals son (representantes de clases de equivalencia) de las secuencias.

Ahora, como tantas otras preguntas, ¿qué pasa con $\mathbb{C}$? Está claro que el hyperreals son primarias equivalente a los reales, y categoricity para los números complejos hacerlos isomorfo a cualquier terminación de la hyperreals en el mismo sentido. Entonces, ¿qué pasa con toda la infinitesimals? Hacer el hyperreal distinto de cero infinitesimals de repente se convierten en hyperreal complejo null-secuencias? Mientras que cuando se va el 'estándar' que debe ser igual a cero a lo largo de todos? En particular, ¿cuál es la función de $f$ en el siguiente diagrama:

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \mathbb{R} @>N>> \mathbb{R}^*\\ @Vc V V @VV CV\\ \mathbb{C} @>>f> \mathbb{C}\equiv\mathbb{C}^{*} \end{CD}

Aquí, $N$ es el habitual ultrapower incrustación, $c$ $C$ son los respectivos algebraica de las terminaciones.

La pregunta es, ¿qué sucede a $(1/n)_{n\in\mathbb{N}}$? Que es un no-cero infinitesimal, equivalente a cero tomar piezas estándar, por lo que debe ser un cero no estándar número complejo, pero no se puede ir de la no-estándar de manera compleja. ¿Qué hay de malo con esto? O más bien, de lo implícito de la proyección nos falta? Y para el conjunto de los teóricos de la, ¿qué tipo de cardenal qué necesitamos para existir para que esto funcione?

Answer 1

La historia de $\mathbb{C}$ es exactamente como la historia para $\mathbb{R}$, y no hay nada extraño sucede como usted está preguntando acerca de. Tenemos elementos de $\mathbb{C}^*$, que es "infinito" o "infinitesimal". Un valor distinto de cero infinitesimal hyperreal es todavía un valor distinto de cero infinitesimal cuando se la considera como un elemento de $\mathbb{C}^*$.

Su punto de confusión parece provenir del hecho de que $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}^*$ son isomorfos como campos. Esto es cierto, pero es bastante irrelevante. Sí, existe un isomorfismo entre ellos. Entonces, ¿qué? No hay canónica de la elección de un isomorfismo, y tal isomorfismo es sólo un isomorfismo de los campos y no respecto de cualquier otra estructura de cerca de $\mathbb{C}$, lo que podríamos atención sobre (como los subcampos $\mathbb{R}$$\mathbb{R}^*$).

Es cierto que usted puede elegir algunas de campo isomorfismo $g:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$, y, a continuación, pedir lo que sucede a $\mathbb{R}^*$ (o el estándar de copia de $\mathbb{C}$ dentro $\mathbb{C}^*$) en virtud de este isomorfismo. La respuesta es que realmente no se puede decir mucho, ya que esta $g$ es altamente no-singular. De hecho, es posible elegir $g$ a un mapa de cualquier elemento trascendental de $\mathbb{C}^*$ a cualquier elemento trascendental de $\mathbb{C}$ (donde "trascendental" significa "no algebraicas sobre $\mathbb{Q}$"). Así, por ejemplo, el elemento de la $\mathbb{C}^*$ representado por la secuencia de $(1/n)$ mapa a cualquier trascendental número en $\mathbb{C}$, dependiendo de la elección de isomorfismo $g$.