Tengo que probar lo siguiente:
Probar: Vamos a $a$ ser un número irracional y $r$ ser un número racional distinto de cero. Si $s$ es un número racional, entonces $ar$ + $s$ es irracional
Así que, me decidí a hacer una prueba por contradicción y me preguntaba si alguien puede comprobarlo por mí?
La prueba por contradicción
Supongamos $ar + s$ es racional, entonces se puede expresar una relación de números enteros, $\frac{p}{q}$. Esto implica
\begin{align} ar + s &= \frac{p}{q} \\ ar &= \frac{p}{q} - s \\ ar &= \frac{p-s}{q} \quad (*) \\ \end{align}
Contradicción $(*)$. Sabemos que un irracional veces un racional es irracional y, por lo tanto, no puede ser expresado como una proporción de números enteros, pero aquí se está afirmando que se puede expresar como tales. Por lo tanto, nuestra declaración original debe ser falsa. Por lo tanto, $ar+s$ debe ser irracional. $QED$
¿Esto tiene sentido?
Gracias!
Abajo está la prueba de reescrito por completo.
La prueba por contradicción Supongamos $ar + s$ es racional, entonces se puede expresar una relación de números enteros, $\frac{p}{q}$. Esto implica
\begin{align} ar + s &= \frac{p}{q} \\ ar &= \frac{p}{q} - s \\ ar &= \frac{p-sq}{q} \\ a &= \frac{p-sq}{rq} \quad (*) \end{align}
Contradicción $(*)$. Sabemos que $a$ es irracional lo que implica que no puede ser escrito como una relación de números enteros, en otras palabras $a = \frac{p-sq}{rq} \in \mathbb{Q}$ lo cual es falso. Por lo tanto, nuestra declaración original debe ser falsa también. Por lo tanto, $ar + s$ es irracional. $QED$.
