¿Es el campo vectorial electromagnético una suma de E y B?

Question

Me cuesta mucho entender la teoría (clásica) del campo electromagnético con respecto a Descomposición de Helmholtz . Permítanme partir del teorema de Helmholtz:

Cualquier campo vectorial de clase $C^{\infty}$ en $R^3$ puede docomponerse en suma de >otros dos campos: uno libre de rizos y otro libre de divergencias.

$\bf{F}=\bf{F_1}+\bf{F_2}$

pero (debido a algunas identidades de operadores vectoriales) podemos reescribir $F_1$ et $F_2$ a

$\bf{F_1}=-\nabla F_3$

$\bf{F_2}=\nabla\times\bf{F_4}$

donde

$F_3$ , $\bf{F_4}$ son campos escalares y vectoriales respectivamente

Pasando ahora a la electrodinámica sabemos que en caso estacionario

$\bf{E}=-\nabla\phi$

y

$\bf{B}=\nabla\times\bf{A}$

Se ajusta muy bien por lo que podemos escribir que el campo electromagnético es igual a

$\bf{F_{EM}}=\bf{E+B}=-\nabla\phi+\nabla\times\bf{A}$

¿o podemos? Por qué en ninguno de mis libros ni en la red está escrito que el campo EM sea sólo $\bf{E+B}$ ? Por ejemplo wikipedia afirma que EM es combinación de $\bf{E}$ et $\bf{B}$ . Sí, claro que es combinación (de las ecuaciones de Maxwell) pero no es una afirmación precisa. Obviamente, en ninguna parte pude encontrar ninguna ecuación para el campo EM (tratado como un solo campo vectorial).

Entonces, ¿alguien puede explicar qué es este campo EM con respecto a $\bf{E}$ et $\bf{B}$ en el contexto de la descomposición de Helmholtz?

Answer 1

Permítanme que lo intente con más claridad que las otras respuestas, que no son erróneas. Usted pregunta:

Entonces, ¿alguien puede explicar qué es este campo EM con respecto a $\vec E$ et $\vec B$ en el contexto de la descomposición de Helmholtz?

No hay "Campo EM en el contexto de la descomposición de Helmholtz" . Helmholtz sólo dice que todo campo vectorial $\vec V$ es descomponible como rizo y gradiente de otros dos campos, es decir

$$\vec V = \vec \nabla \phi + \vec \nabla \times \vec A $$

Se puede hacer lo mismo con el campo eléctrico o el magnético, por supuesto, pero esto no es especialmente esclarecedor en cuanto a la naturaleza del "campo EM". Un campo debería comportarse bien bajo transformaciones, y la relatividad especial con su acción sobre los campos eléctrico y magnético nos muestra que deberíamos no sumarlas, sino buscar una cantidad que se transforme bien bajo las transformaciones de Lorentz:

"El campo electromagnético" es equivalentemente el calibre cuatro-potencial $A$ (formado por el potencial electrostático escalar en las entradas temporales y el potencial magnético vectorial en las espaciales) o su derivada, el tensor de intensidad de campo $F = \mathrm{d}A$ . Los campos eléctrico y magnético pasan a formar parte del tensor como \begin{align} F^{0i} & = E^i \\ F^{ij} & = \sum_k\epsilon^{ijk}B^k \end{align} Esto es "el campo EM", pero no tiene nada que ver con la descomposición de Helmholtz, ya que el electromagnetismo se considera propiamente en el marco cuatridimensional de la relatividad especial, para la que sólo el campo general Descomposición de Hodge de Helmholtz es un caso especial, pero incluso esta no tiene nada que ver .

Este campo EM actúa sobre la cuatro-velocidad, reproduciendo la fuerza de Lorentz por

$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = q F(u)$$

donde $u$ es la cuádruple velocidad, y $(F(u))_\mu = F_{\mu\nu}u^\nu$ .

Answer 2

Si el campo no es estacionario, el rizo de $\vec{E}$ no desaparece. Así que, en general, no se puede identificar el campo electromagnético con la parte libre de rizos de la descomposición.

Sin embargo, sí se puede introducir una combinación vectorial compleja de campo eléctrico y magnético, en un determinado sistema de unidades es $\vec{E}+i\vec{H}$ . Se trata del llamado vector Riemann-Silberstein ( http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector ). A veces es muy útil (por ejemplo, lo he utilizado en mis artículos recientes ( http://arxiv.org/abs/1502.02351 et http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (publicado en J. Math. Phys.)). Sin embargo, es un vector sólo bajo las transformaciones del grupo de rotación, no de todo el grupo de Lorentz.

Answer 3

Si encaja muy bien podemos escribir que el campo electromagnético es igual a

$\bf{F_{EM}}=\bf{E+B}=-\nabla\phi+\nabla\times\bf{A}$

¿o podemos?

¡No! ¡Por el amor de Dios, no!

No se limite a sumar esos campos... no es una cantidad útil.

En el sistema SI $E$ et $B$ tienen unidades diferentes. Otro buen indicador de que usted no desea simplemente agregarlos juntos....

Además, el campo eléctrico no siempre es longitudinal (es decir, no siempre es igual al gradiente de un escalar $-\nabla \phi$ ). En general, puede tener un componente transversal: $$ \vec E = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t} $$

Answer 4

Encontraré el Maxwell palabra en el Conferencia sobre la Medalla Oersted 2002: La reforma del lenguaje matemático de la física por Hestenes, en las páginas 25/26

Ese formidable texto presenta un mejor formalismo matemático para la física, imo.

A partir de $ F(x,t) = E(x,t) + i B(x,t) $ ...
Las 4 ecuaciones de Maxwell (64..67) que describen dos puntos de vista ( E y B ) de un campo "EM" de entidad única pueden expresarse con una sola ecuación (63):

$$(\frac{1}{c}\partial_t+\nabla) F= \rho - \frac{1}{c}J$$

La palabra Helmholtz etc, etc, no está presente en ese formalismo. Números complejos, vectores, matrices, tensores, etc, son puntos de vista particulares que el Álgebra Geométrica integra.

Answer 5

En realidad, el campo electromagnético puede verse como un tensor. La combinación de la que habla Wikipedia es esta, $E$ et $B$ se organizan en una matriz antisimétrica $F_{\mu\nu}$ con $\mu,\nu = 0,\ldots, 4$ por lo que el número de componentes independientes es $6$ .