Es posible simplificar esta expresión? $$\frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\ \Gamma\left(\frac{7}{15}\right)}$$ Es allí una manera sistemática para comprobar las proporciones de Gamma-funciones como este para la simplificación posibilidad?
Respuesta
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Sorprendentemente, esto puede ser simplificado en gran medida. Voy a estado el resultado de la primera:
$$\frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right)} = \frac{\sqrt{5}+1}{3^{1/10} 2^{6/5} \sqrt{\pi}}$$
El resultado de la siguiente manera primero de una versión de Gauss, la multiplicación de la fórmula:
$$\displaystyle\Gamma(3 z) = \frac{1}{2 \pi} 3^{3 z-1/2} \Gamma(z) \Gamma\left(z+\frac13\right) \Gamma\left(z+\frac{2}{3}\right)$$
o, con $z=2/15$:
$$\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right) = 2 \pi \,3^{1/10} \frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2}{5}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{4}{5}\right)}$$
Ahora el uso de la fórmula de duplicación
$$\Gamma(2 z) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\, 2^{2 z-1} \Gamma(z) \Gamma\left(z+\frac12\right)$$
o, con $z=2/5$:
$$\frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2}{5}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\sqrt{\pi} \, 2^{1/5}}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{9}{10}\right)}$$
Poniendo todo esto junto, obtenemos
$$\frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right)} = \frac{\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{10}\right) \Gamma\left(\frac{9}{10}\right)}{\sqrt{\pi^3} \, 2^{6/5} \, 3^{1/10}}$$
Y ahora, podemos utilizar la reflexión fórmula:
$$\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin{\pi z}}$$
Con $z=1/10$, y observando que
$$\sin{\left(\frac{\pi}{10}\right)} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$$
el declaró resultado de la siguiente manera. Esto ha sido comprobado numéricamente en Wolfram|Alpha.
