inversa de la transformada de Fourier de $\frac{x^3y}{(x^2+y^2)^2}$

Question

Deje $f(x,y)=\frac{x^3y}{(x^2+y^2)^2}$. ¿Qué es la inversa de la transformada de Fourier de $f$?

Desde $f$ no es ni una $L^1$-función ni un Schwartz-función de estoy buscando una inversa de la transformada de Fourier en el sentido de templado de distribuciones. He probado varias distribuciones, pero cada uno ha fallado. ¿Alguien tiene una sugerencia?

Answer 1

Tenemos $$\frac 1 {2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(r) e^{i (x, y) \cdot (\xi \zeta)} dx dy = \int_0^\infty r f(r) J_0( \rho r) dr.$$ Si una de las dimensiones funcionales de la $r_+^{-3}$ es entendida como $$(r_+^{-3}, f) = \int_0^\infty r^{-3} \left( f(r) - f(0) - f'(0) r - \frac {f"(0)} 2 r^2 H(1 - r) \right) dr,$$ entonces $$\mathcal F[r^{-4}] = \frac {\rho^2} 4 \left( \ln \frac \rho 2 + \gamma - 1 \right) \\ \mathcal F \!\left[ \frac {x^3 y} {(x^2 + y^2)^2} \right] = \frac {\partial^4} {\parcial \xi^3 \partial \zeta} \mathcal F[r^{-4}] = \frac {\xi \zeta (\xi^2 - 3 \zeta^2)} {(\xi^2 + \zeta^2)^3}.$$ En general, la diferenciación $r^{-n}$ producirá función delta de términos. $\partial \rho^{-2} / \partial \xi$ da $\delta^{(1, 0)}(\xi, \zeta)$ plazo, sino $\zeta \delta^{(1, 0)}(\xi, \zeta) = 0$.

Parece que este notable relación se mantiene: $$\mathcal F[\pecado 2 k \phi] = \frac {2(-1)^k |k|} {\rho^2} \pecado 2 k \psi$$ a partir de la cual la anterior transformar sigue inmediatamente, pero no tengo idea de cómo derivar que el cuadro de edición es demasiado estrecho para la prueba.

Answer 2

El siguiente código de Mathematica

InverseFourierTransform[u^3*v/(u^2 + v^2)^2, {u, v}, {x, y}]

le da a la Inversa de la transformada de Fourier como

$$\frac{x y [\theta (-x)+\theta (x)] \left(x^2-3 y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^3}$$

where $\theta(\cdot)$ denota la Heaviside Theta función.