Un 'fácil' de ejercicio en condicional expectativas y filtraciones

Question

Estoy luchando con el siguiente ejercicio en el contexto de la modelación de la estructura de la información a través de la filtración para evaluar contingentes reclamaciones. Espero que alguien me puede explicar cómo derivar la solución:

Deje $ \Omega = ${a,b,c} con a $\mathbb{Q}$({a}) = 1/2, $\mathbb{Q}$({b}) = 1/4 y $\mathbb{Q}$({c}) = 1/4 y X una variable aleatoria definida por X(a) = 1, X(b) = X(c) = 2. Calcular el $\mathbb{E} \left [\mathbb{E} \left [ X|F \right ]|G \right ]$ $\mathbb{E} \left [\mathbb{E} \left [ X|G \right ]|F \right ]$ $ F:=\left \{ \emptyset ,\left \{a\right \},\left \{b,c\right \},\Omega\right \}$ $ G:=\left \{ \emptyset ,\left \{a,b\right \},\left \{c\right \},\Omega\right \}$

He intentado: $$\mathbb{E} \left [ X|F \right ] = \begin{cases} 0.5\cdot 1=0.5 & \text{ if } \omega = \left \{ a \right \}\\ 2\cdot 0.25+2\cdot0.25=1& \text{ if } \omega = \left \{ b,c \right \}\\ \end{casos}$$

Y:

$$\mathbb{E} \left [ X|G \right ] = \begin{cases} 0.5\cdot 1+0.25\cdot 2=1 & \text{ if } \omega = \left \{ a,b \right \}\\ 2\cdot 0.25=0.5& \text{ if } \omega = \left \{ c \right \}\\ \end{casos}$$

Sin embargo, no sé cómo calcular el $\mathbb{E} \left [\mathbb{E} \left [ X|F \right ]|G \right ]$...

Answer 1

Siguiendo la sugerencia dada por Windridge, vamos a $\mathbb{E} \left[ \mathbb{E} \left[X \middle \vert F\right] \middle\vert G\right] = \mathbb{E} \left[ Y \middle\vert G\right]$ donde $Y = \mathbb{E} \left[X \middle\vert F\right]$.

$\mathbb{E} \left[Y \middle\vert G\right] = \sum y \, \Pr\left(Y = y \middle\vert G\right)$.

Si $\omega =\{a, b\}$, $\mathbb{E} \left[Y \middle\vert G\right] = \frac{1}{2} \bullet \Pr \left( \mathbb{E} \left[X \middle\vert F\right] = \frac{1}{2} \middle\vert \omega =\{a, b\} \right) + 1 \bullet \Pr \left( \mathbb{E} \left[X \middle\vert F\right] = 1\middle\vert \omega =\{a, b\} \right) = \frac{1}{2} \bullet \frac{\mathbb{Q}(a)}{\mathbb{Q}(a)+\mathbb{Q}(b)} + 1 \bullet \frac{\mathbb{Q}(b)}{\mathbb{Q}(a)+\mathbb{Q}(b)} = \frac{2}{3} \, .$