Mostrar que $\sum_{n=1}^\infty a_n<\frac{1}{2}(f(1)-f(2))$.

Question

Deje $f:[1,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ ser dos veces diferenciable función decreciente tal que $f''(x)$ es positivo para $x\in(1,\infty)$. Para cada entero positivo $n$, vamos a $a_n$ denotar el área de la región limitada por la gráfica de $f$ y el segmento de línea uniendo los puntos de $(n,f(n)$$(n+1,f(n+1))$. Mostrar que

$\sum_{n=1}^\infty a_n<\frac{1}{2}(f(1)-f(2))$.

Mi intento: puedo ver que

$a_n=f(n+1)+\frac{1}{2}(f(n)-f(n+1))-\int_n^{n+1}f(n)$

$=\frac{1}{2}(f(n)+f(n+1))-\int_n^{n+1}f(n)$

$<\frac{1}{2}(f(n)+f(n+1))-f(n+1)$

que es algo útil en la infinita suma de muchos términos cancelar, pero yo no estoy en el borde derecho. ¿Cómo puedo utilizar la segunda derivada sea negativo?

Answer 1

Estoy saltar directamente al paso donde han llegado.

$$a_n=f(n+1)+\frac{1}{2}(f(n)-f(n+1))-\int_n^{n+1}f(n)$$

Ahora $\int_n^{n+1}f(n)$ representa el área bajo la gráfica de$n$$n+1$.

Si se sustituye por una cantidad más pequeña y, a continuación, vamos a incrementar su valor.

Pero a partir de qué valor debemos reemplazarlo? Usted ha utilizado $f(n+1)$ pero no te da resultado requerido .Así que vamos a utilizar gráficos.Este es un azar la disminución de la convexo gráfico.

De aquí que la línea azul es tangente a la curva en el punto de $B(n+1,f(n+1))$ Permítanos restar el área encerrada por la curva de $ABD$.

Ahora, lo que queda es $\int_n^{n+1} \text{ Line} BD $.

En la integración de la línea de

$y=f'(n+1)x+f(n+1)-f'(n+1)(n+1)$

En $n$$n+1$, lo que tenemos es :

$$\int_n^{n+1}f'(n+1)x+f(n+1)-f'(n+1)(n+1)=f(n+1)-\frac {f'(n+1)}{2}$$

(Aviso, f'(n+1) es negativo aquí.)

Ahora hemos terminado.

$$\implies a_n = \frac {(f(n)+f(n+1))}{2}-\int_n^{n+1}f(n)$$

$$\implies a_n < \frac {1}{2}(f(n)+f(n+1))-(f(n+1)-\frac {f'(n+1)}{2})$$

$$ \implies a_n < \frac{1}{2}(f(n)-f(n+1))+\frac {f'(n+1)}{2}$$

$$\implies \sum_{n=1}^\infty a_n<\ \sum_{n=1}^\infty \Bigg[\frac{1}{2}(f(n)-f(n+1))+\frac {f'(n+1)}{2}\Bigg]$$

$$ \implies \sum_{n=1}^\infty a_n< \lim _{m \rightarrow \infty}\Bigg[ \frac{1}{2}(f(1)-f(m))+\ \sum_{n=1}^m \Bigg (\frac {f'(n+1)}{2}\Bigg )\Bigg]$$

Ahora, espere un minuto. Aviso:

$$\sum_{n=1}^\infty \Bigg (\frac {f'(n+1)}{2}\Bigg )$$

se puede aproximar como -

$$\int_1^{\infty} \frac {f'(n+1)}{2}$$

(el uso de la suma como la integración desde $1,2,3...$ son muy pequeños intervalos en comparación a $\infty$)

Continuar :

$$\implies \sum_{n=1}^\infty a_n< \lim _{m \rightarrow \infty} \Bigg[\frac{1}{2}(f(1)-f(m))+\int_1^{m} \frac {f'(n+1)}{2} \Bigg]$$

$$\implies \sum_{n=1}^\infty a_n< \lim _{m \rightarrow \infty} \Bigg[\frac{1}{2}(f(1)-f(m))+ \frac {f(n+1)}{2} \Bigg |_{1}^{m} \Bigg ]$$

$$\implies \sum_{n=1}^\infty a_n< \frac{1}{2}(f(1)-f(m))+ \frac {f(m)-f(1+1)}{2}$$

$$\implies \sum_{n=1}^\infty a_n< \frac{1}{2}(f(1)-f(2))$$

Finalmente, hacerse con él!

Answer 2

En cada intervalo de $[n,n+2]$, ya que el $f$ es convexa, $f$ está por encima de su línea tangente a $n+1$ (ver propiedad 5 aquí), por lo tanto para todos $x\in [n,n+2]$, $$ f(x) \geq f(n+1)+ f'(n+1)(x-(n+1))$$
La integración de esta desigualdad en $x$, $$\int_{n}^{n+2}f(x) dx \geq \int_{n}^{n+2} [f(n+1)+ f'(n+1)(x-(n+1))]dx$$ que reescribe $$\int_n^{n+2} f(x)dx \geq 2f(n+1)$$

Recuerde que $$a_n=\frac{1}{2}(f(n)+f(n+1))-\int_n^{n+1}f(n)$$

Por lo tanto $$\begin{align} a_n+a_{n+1} &= \frac{f(n)+f(n+1)}2 + \frac{f(n+1)+f(n+2)}2 - \int_{n}^{n+2} f(x)dx\\ &\leq \frac{f(n)+f(n+1)}2 + \frac{f(n+1)+f(n+2)}2 - 2f(n+1) \\ &=\frac{f(n)-f(n+1)}2 - \frac{f(n+1)-f(n+2)}2 \end{align} $$

Desde $f$ es decreciente y positiva, tiene un límite finito en $\infty$ por lo tanto $\frac{f(n+1)-f(n+2)}2$ converge a $0$.

Sumando todas estas desigualdades, las sumas de dinero en el derecho telescopio, produciendo $$\sum_{n=1}^\infty (a_n+a_{n+1})\leq \frac{f(1)-f(2)}2$$ que es $$\left( 2\sum_{n=1}^\infty a_n \right) -a_1 \leq \frac{f(1)-f(2)}2$$

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \frac{f(1)-f(2)}4 + \frac{a_1}2$$ El obligado se encuentra en su pregunta rendimientos $\displaystyle a_1\leq \frac{f(1)-f(2)}2$ y hemos terminado.

Answer 3

Considere la siguiente figura, donde el área de $a_n$ sombreada en rojo:

Convexidad implica que el área de $a_n$ está contenida en el triángulo $\triangle ABC$. De ello se sigue que $$\eqalign{a_n&\leq {\rm area}(\triangle ABC)={1\over2}\bigl(f(n)-2f(n+1)+f(n+2)\bigr)\cr&={1\over2}\bigl(f(n)-f(n+1)\bigr)-{1\over2}\bigl(f(n+1)-f(n+2)\bigr)\ .\cr}$$ Suma más de $n$ da en el lado derecho, una (convergente) telescópicas suma, por lo que obtenemos $$\sum_{n=1}^\infty a_n\leq{1\over2}\bigl(f(1)-f(2)\bigr)\ .$$