Demostrar Conversar continuidad con las Preimages

Question

Me gustaría demostrar que si las imágenes de $f^{-1}(U) \subset D $ de abrir subconjuntos $U\subset \mathbb{C}$ están abiertas en $D$ implica una función de $f:D \to \mathbb{C}, D\subset \mathbb{C}$ es continua.

EDIT: necesito ayuda con la conversación. Pensé que me había demostrado lo contrario cuando realmente me había mostrado la dirección anteriormente mencionada. Cualquier ayuda es muy apreciada.

También Es cierto que la imagen de $f(U)$ de un subconjunto $U \subset D$ bajo una función continua es abierta en $ \mathbb{C}$?

Gracias!

Answer 1

SUGERENCIA: Dado $\varepsilon$, considere la posibilidad de $f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$, esto es un conjunto abierto incluyendo $x$, por lo que contiene algunos de los $B_\delta(x)$.

Answer 2

Deje $a \in D$, y deje $\epsilon > 0$ ser arbitraria. A continuación, $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a))$ es abierto y contiene $a$; así pues, por hipótesis, hay algunos $\delta > 0$ tal que $B_{\delta}(a) \subseteq f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a))$. Pero entonces vemos que $f(B_{\delta}(a)) \subseteq B_{\epsilon}(f(a)$. Dicho de otra manera, dado arbitraria $\epsilon > 0$ hemos encontrado $\delta > 0$ tal que

$$ |a-z|< \delta \Rightarrow |f(z) - f(a)|< \epsilon.$$

Por lo $f$ es continua como $a$. Desde $a \in D$ era arbitraria, podemos concluir que $f$ es continua.

Prueba de conversar Ahora supongamos que $f:D \rightarrow \mathbb{C}$ es continua, y deje $U \subseteq \mathbb{C}$ ser un conjunto abierto. Tenemos que mostrar que $f^{-1}(U)$ está abierto en $D$. Deje $z \in f^{-1}(U)$. A continuación,$f(z) \in U$, y por la apertura de $U \ \ \exists \epsilon>0$ tal que $B_{\epsilon}(f(z)) \subseteq U$. Por la continuidad de $f \ \ \exists \delta > 0$ tal que $f(B_{\delta}^D(z)) \subseteq B_{\epsilon}(f(z))$. Pero, a continuación,

$$ B_{\delta}^D(z) \subseteq f^{-1}( B_{\epsilon}(f(z))) \subseteq f^{-1}(U). $$

Esto es suficiente para mostrar que $f^{-1}(U)$ está abierto en $D$.