Sheafification: otra definición

Question

Vamos a ser $\mathcal F$ un presheaf en un espacio topológico $X$, la definición habitual de la gavilla asociados a $\mathcal F$ es la siguiente

$\mathcal F^+(U)=\{\widetilde s: U\rightarrow Et(\mathcal F)\;|\; s\in \mathcal F(U),\;\textrm{and}\;\widetilde s(x)=s_x \}$

donde $s_x$ es el germen en$x$$s$.

En el libro "la geometría Algebraica: una introducción - D. Perrin ", he encontrado otra definición de la gavilla asociado a un presheaf en el caso particular de las poleas de funciones.

Vamos a ser $\mathcal F$ un presheaf (en $X$) de las funciones con codominio el conjunto $A$

$\mathcal F^+(U)=\{f:U\rightarrow Un\;|\;\forall x\U, \existe V\subseteq U\; \textrm{donde: $V$ es un conjunto abierto que contiene a $x$ y}\; \existe g\in\mathcal F(V)\;\textrm{tales que}\; f|_V=g\}$

Mi pregunta es la foillowing: ¿por qué, en el caso de las poleas de la función, estas definiciones son las mismas? La naturaleza de los elementos de $\mathcal F^+(U)$ es diferente, de hecho, en el primer caso se tiene la función de $U$ $Et(\mathcal F)$lugar en el segundo caso, el codominio es $A$.

Answer 1

Si $\mathcal F$ es un presheaf de los conjuntos en un espacio topológico $X$, el etale de construcción de espacio de muestra que se puede interpretar $\mathcal F$ como presheaf de funciones continuas en el topológica splace $Et(\mathcal F)$ :

Si $s \in \mathcal F(U)$, asociada a la función de $\widetilde{s} : x \in U\mapsto s_x \in Et(\mathcal F)$. Escribir $\widetilde {\mathcal F}(U) = \{\widetilde{s}, s \in \mathcal F(U)\}$. Junto con la obvia mapas de restricción, es un presheaf en $X$ isomorfo a $\mathcal F$

Ahora que tenemos como presheaf de funciones en $Et(\mathcal F)$, podemos utilizar Perrin definición : $\widetilde {\mathcal F}^+(U)$ es el conjunto de funciones de $U \to Et(\mathcal F)$ que son localmente elementos de $\widetilde {\mathcal F}(U)$ :

$\widetilde {\mathcal F}^+(U) = \{f : U \to Et(\mathcal F) / \forall x \in U, \exists g \in \widetilde {\mathcal F} (V), g = f|_V \}$ donde $V$ es un abierto que contiene a $x$. $a = \{ f : U \a Et(\mathcal F) / \forall x \U, \existe g \en \widetilde {\mathcal F} (V), f_x = g_x \} \\ = \{ f : U \a Et(\mathcal F) / \forall x \U, \exists s \in \mathcal F (V), f_x = \widetilde{s}_x \} \\ = \{ f : U \a Et(\mathcal F) / \forall x \U, \exists s \in \mathcal F (V), f(x) = s_x \}$
porque el germen de una función en el etale espacio está determinado por su imagen en ese punto, y $\widetilde{s}(x) = s_x$.

Por lo tanto las dos definiciones de la misma gavilla en el final.