Estoy escribiendo un ensayo sobre el papel de la visualización en matemáticas y específicamente en geometría. Me preguntaba si es posible representar cualquier sistema arbitrario de relaciones y objetos manipulables de manera visual, y cómo esta interpretación da un significado a las estructuras matemáticas. En este momento, simplemente estoy tratando de recopilar las opiniones y reflexiones de colegas matemáticos y lógicos sobre este tema para ver cuáles ideas son las más interesantes y valen la pena escribir acerca. Me interesa especialmente los casos extremos de cosas que son muy difíciles de interpretar visualmente, así como las cosas que son mejor interpretadas visualmente (fractales y figuras imposibles). Déjenme saber qué piensan ustedes sobre este tema, estoy seguro de que esta comunidad tiene una riqueza de ideas interesantes.
¡Gracias! Estoy emocionado por escuchar sus opiniones.
EDIT: Me doy cuenta de que mi pregunta no es clara, pero no estoy buscando una respuesta per se, sino más bien algunas reflexiones generales sobre el tema. Por ejemplo, cuando dices que hay muchos más objetos matemáticos que no pueden ser fácilmente visualizados, ¿qué aspectos o propiedades hacen que la visualización sea difícil o imposible? Me interesa discutir la naturaleza de la visualización y su papel en las matemáticas. ¿Es la visualización simplemente una herramienta para ayudarnos a entender intuitivamente los conceptos y relaciones más abstractos? ¿O es la visualización un proceso profundamente conectado a las matemáticas en sí? En ese caso, ¿es esto debido a nuestra intuición humana que infunde sus propios artefactos estructurales en el álgebra y la lógica?
Me doy cuenta de que no estoy haciendo una pregunta específica, por lo que responder de manera concreta es difícil, pero como dije, estoy más interesado en la discusión y ejemplos relacionados de fenómenos interesantes.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mientras es fácil pensar en formas geométricas, círculos y triángulos, y otras líneas simples a través del plano, o incluso a través de un espacio 3D, este tipo de objetos representan solo una pequeña fracción del universo matemático.
De hecho, mientras pensamos en objetos que no son agradables como aquellos mencionados anteriormente, como "patológicos", de hecho son los objetos agradables los que son escasos y los objetos patológicos los que son comunes.
Incluso permaneciendo dentro de los límites del plano, podemos pensar fácilmente en objetos intangibles, o en objetos que de otra manera son imposibles de visualizar. Aquí está quizás el ejemplo más simple de dos objetos muy bien entendidos, los números racionales y los números irracionales, en la recta real.
Intentando visualizarlos, cada uno es "como una línea" pero faltan muchos puntos, y en ambos casos, los puntos que faltan están ocultos entre los puntos que tenemos, por lo que es imposible verlos. Entonces, si piensas en ellos por separado, probablemente tengas la misma imagen en tu cabeza. Lamentablemente, estos dos son muy diferentes. Uno es contable, y el otro no lo es. Es decir, no hay forma de ponerlos en una correspondencia uno a uno (una lista donde cada número racional aparezca una vez en la columna izquierda, y cada número irracional aparezca una vez en la columna derecha, y ninguna fila tenga entradas faltantes).
Yendo a un objeto un poco más complicado, pero aún algo tangible, considera la función de Conway Base 13. Esta función tiene un gráfico que cubre "casi" todo el plano (casi en el sentido de que los puntos faltantes están profundamente escondidos entre los que están allí).
Entonces, ¿cómo podemos imaginar esto correctamente?
Yendo aún más lejos. ¿Podemos visualizar espacios cuya dimensión es mayor que $3$? Quizás $4$. Pero ¿realmente podemos ver claramente en un espacio de $42$ dimensiones? ¿Qué hay de un espacio infinitamente dimensional? ¿Cuál es la distinción entre dos espacios infinitamente dimensionales cuya dimensión es diferente?
Yendo aún más lejos, llegamos a los objetos intangibles. Estos son objetos que podemos demostrar que existen matemáticamente, pero que no podemos describir completamente. Conjuntos a los que no podemos asignar "volumen" de manera significativa, por ejemplo. Esos tienen muchos sabores diferentes, pero ninguno que podamos visualizar completamente.
Y todo eso está dentro de los confines de "cosas relacionadas con los números reales". Ni siquiera he comenzado a hablar sobre el salvaje universo que yace más allá de eso.
Creo que la "visión" en matemáticas es más profunda que en el sentido común. Cuando un matemático "visualiza" algo no es simplemente una imagen bidimensional. Es una imagen en un mundo mucho más rico.
Por ejemplo, hay matemáticos famosos que no ven. ¡Y algunos de ellos hacen... GEOMETRÍA! (e incluso geometría 4-dimensional)
Visualizar es como "traducir a un mundo con el que te sientas cómodo".
El poder de la visualización es proporcional a cuántos ejemplos y contraejemplos has "visto" en tu vida.
En este sentido, visualizar es absolutamente fundamental para los matemáticos.
Aquí mi "cosa difícil de visualizar" favorita:
Paradoja de Russell: ¿El conjunto de conjuntos que no se contiene a sí mismo, se contiene a sí mismo?
En general, ¿puedes imaginar el universo? (el universo matemático, la clase de todos los conjuntos) ¿está limitado en tu "visión"?
En niveles básicos, es bastante posible. Por ejemplo, puedes demostrar
$$ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $$ o encontrar la solución de $$ x ^ 2 + bx + c = 0 $$ de manera geométrica.
En general, parece bastante difícil. La razón es completamente técnica, ya que no puedes imaginar un espacio vectorial de $4$ dimensiones, pero puedes hacer cálculos sobre él.
Por ejemplo, puedes decir que $(1, 1, 0, -1)$ y $(1, 0, 0, 1)$ son perpendiculares en $R ^ 4$. Pero en realidad, no podemos visualizarlo, solo vemos que el producto interno de estos vectores es $ 0 $ por lo que son perpendiculares.
Y cuando aumentamos la abstracción, damos un significado general al espacio vectorial, vemos que todas las funciones continuas definidas de $ [0,1] $ a $ [0,1] $ constituyen un espacio vectorial. Tiene dimensión infinita y $sin (2\pi x)$ y $cos (2\pi x)$ son dos vectores perpendiculares entre sí. Ves que ser perpendicular adquiere más significado que en geometría.
Incluso si no podemos visualizar completamente cada objeto en matemáticas, la geometría nos ayuda en muchas áreas diferentes de las matemáticas como una herramienta sólida. Un ejemplo es el uso de la teoría de grafos en topología algebraica como una herramienta sólida. Es posible que desees investigar sobre topología algebraica.
