La división por 3 a prueba de

Question

Esta es una parte de una tarea. He resuelto todos los ejemplos aparte de esta. Así que la tarea es: sabemos que $3$ divide $a^2 + b^2$. Demostrar que $3$ divide $a$ $3$ divide $b$. No puedo pensar en nada útil. Sé que $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, pero no veo la manera de que me puede ayudar :(

Saludos cordiales, Petar

Answer 1

Bien considerar todos los cuadrados módulo 3. $0^2 = 0$, $1^2 = 1$ y $2^2 = 1$. Así que ahora toman la expresión modulo 3, usted sabe que $3 \mid a^2 + b^2$. Por lo $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$, pero ahora si $3$ no divide $a$ o $b$, $a^2 \equiv 1 \pmod 3$ o $b^2 \equiv 1 \pmod 3$. Pero que contradice la suposición de que $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$.

Answer 2

Sabemos que $a^2+b^2 = 3q$$q \in \mathbb{Z}$. Supongamos por contradicción que $3$ no divide $a$ o $3$ no divide $b$. A continuación, $a = 3l+1$ o $a=3l+2$ $b = 3l'+1$ o $b=3l'+2$$l, l' \in \mathbb{Z}$.

Answer 3

Cualquier número entero se puede escribir como una de las tres formas $3k$, $3k+1$ o $3k+2$.

Si tomamos un entero de la forma$3k+1$,$(3k+1)^2 \equiv 1 (\mbox{mod }3)$. Del mismo modo, si el entero es de la forma$3k+2$,$(3k+2)^2 \equiv 1 (\mbox{mod }3)$. El uso de estos, usted puede probar su resultado.

Answer 4

$\rm\: mod\ 3:\ 0^2 \equiv 0,\ 1^2 \equiv 2^2\equiv 1\: $ $\rm\: a^2 + b^2 \equiv 1\:$ o $2\ $ si $\rm\ a\ or\ b\not\equiv 0\:.\: $
Por lo tanto, se puede concluir que la $\rm\ a^2 + b^2 \equiv 0\ \ \:\Rightarrow\:\ \ a\ and\ b\equiv 0$

Más generalmente, si wlog $\rm\ b\not\equiv 0\ $ $\rm\ a^2\equiv -b^2\ \Rightarrow\ (a/b)^2 \equiv -1\ $ contra $\rm\ x^{2\:}\: \not\equiv -1\ \ (mod\ 3)\:.$
Esta prueba funciona en cada dominio donde $-1$ no es un cuadrado, por ejemplo, los números enteros mod $\rm\ p = 4n+3\ $ prime, como por el 1er suplemento a la ley de la reciprocidad cuadrática.