Cómo comprender intuitivamente transporte paralelo

Question

En el artículo que he hace referencia a continuación, y muchos otros artículos para el caso, la noción de transporte paralelo a lo largo de una línea de latitud $\theta=\theta_0$ en la unidad 2-esfera que se habla. Lo que no puedo entender es que, intuitivamente, ¿hay alguna "rotación" después de cortocircuito de la línea completa de latitud camino.

La ilustración de arriba es mi entendimiento de lo que se entiende por "transporte paralelo de un vector a lo largo de la $\theta$ o $\phi$ dirección". Claramente, después de completar una ruta de acceso completa, la rotación de los vectores es siempre exactamente $2\pi$, y por lo tanto las puestas paralelamente transportados vectores se deja sin cambios. Lo he entendido mal? Mi entendimiento no parece coincidir con los resultados obtenidos en el artículo siguiente.

Referencia: http://www.physics.usu.edu/Wheeler/GenRel2013/Notes/Geodesics.pdf

Answer 1

Yo también tenía problemas con esto por mucho tiempo. La explicación que finalmente se trabajó para mí fue la siguiente:

Para los propósitos de transporte paralelo a lo largo de un determinado círculo de latitud, la esfera puede ser reemplazado por el cono que es tangente a la esfera a lo largo de ese círculo, ya que un "flatlander" vivir en la superficie y viajar a lo largo del círculo experimentaría la misma "torcer el plano tangente en el espacio ambiental", independientemente de si la superficie es una esfera o un cono.

Y para el cono, hay una manera fácil de ver que, efectivamente, hay una rotación de la transportados vector con respecto al vector tangente de la curva: acaba de cortar el cono abierto y déjelo sobre la mesa, de modo que el transporte paralelo se convierte simplemente ordinario transporte paralelo en el avión.

Una imagen dice más que mil palabras, y me encontré con un buen uno aquí: http://www.princeton.edu/~npo/SurveyTopics/Berry_examples_files/Berryphase.html.

Answer 2

El rojo y el azul de campos vectoriales en la foto no son paralelas a lo largo de la curva rosa. Una manera de ver esto es que tenga en cuenta que usted puede calcular la derivada covariante de un campo vectorial a lo largo de una curva en el ámbito de computación, de ordinario derivado en $\mathbb R^3$, y, a continuación, en forma ortogonal proyección de que en el plano tangente. En cualquier punto en el círculo rosa, el ordinario derivado de la azul vector campo apunta hacia el centro del círculo rosa. Ya que no es ortogonal al plano tangente, su proyección ortogonal sobre el plano tangente es distinto de cero.

Answer 3

Una forma de ver que el azul del campo de vectores no paralelos es por señalar que es el vector de campo correspondiente a la velocidad. Si fuera en paralelo, el círculo rojo sería una geodésica. Pero geodesics en la esfera son los grandes círculos.

(En realidad, esto es lo mismo que Jack Lee está diciendo, pero expresadas de forma diferente).