Intercambiar el orden de diferenciación y suma

Question

¿Puede intercambiarse el orden de una diferenciación y una suma y, en caso afirmativo, en qué se basa la justificación de ello?

Por ejemplo $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ igual a $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_n(x)$ ¿y cómo se puede demostrar?

Mi intuición para esto es que debería ser así, ya que en el límite, el sumatorio se convierte en una integral y ésta se puede intercambiar con el operador de diferenciación, pero no sé cómo justificarlo? ¿Bastaría con decir que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_1(x)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_2(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f_1(x)+f_2(x)$ porque es un operador lineal y luego de alguna manera extender esto a una suma infinita?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $\sum f_n'$ converge uniformemente, entonces sí. Este es un teorema estándar demostrado en textos como el de Rudin Principios del análisis matemático (véase 7.17, 3ª Ed para más detalles).

De forma más general, puede ocurrir una de las 3 cosas siguientes:

1. La serie no es diferenciable.
2. La serie de derivadas no converge.
3. La serie de derivadas converge a algo distinto de la derivada de la serie.

Toda función continua sobre $[0,1]$ es un límite uniforme de polinomios, pero hay funciones continuas cuya derivada no existe en ninguna parte. Si los límites se interpretan como series, como en el post de Johannes, se obtienen ejemplos de 1. Johannes da un ejemplo de 2. El ejemplo 7 de la página 80 de Contraejemplos en el análisis cubre el caso 3.

Answer 2

Esto es bajo la suposición de que usted está tomando una secuencia de funciones, es decir, su límite aquí es sobre una secuencia $f_n$ de funciones con una sola variable $x$ .

Esto no siempre es posible. Aunque la diferenciación es lineal, esto no no se extienden a sumas infinitas.

Esta pregunta está relacionada con la cuestión de si los límites y la diferenciación conmutan, lo que no es el caso: Consideremos $f_n(x) = (\sin n x)/n$ . Entonces $f_n \to 0$ para $n \to \infty$ (en realidad converge uniformemente), pero $\lim_{n \to \infty} \frac{d f_n(x)}{d x} = \lim_{n \to \infty} \cos nx$ no converge en absoluto (ejemplo tomado de Forster)

Ahora, fijando $g_1(x) = f_1(x)$ , $g_n(x) = f_n(x) - f_{n-1}(x)$ para $n > 1$ el mismo contraejemplo funciona para series infinitas, sumando sobre el $g_n$ .

Intercambiar suma y diferenciación es posible si las derivadas de los sumandos convergen uniformemente a 0, y la suma original converge. Esto se deduce del criterio equivalente para intercambiar límites y diferenciales.