Evaluación integral (paso a paso)

Question

Estoy tratando de evaluar la integral por exponente. ¿Podría ayudarme con los siguientes pasos?

Integral: $$\int \frac{1}{4+\sin(x)} dx$$

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

$$\int \frac{1}{4+sin(x)} dx = \int \frac{1}{4+\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}} dx = \int \frac{2i}{8i+e^{ix}-e^{-ix}} dx$$

¿Es posible? ¿O existe alguna forma?

Gracias de antemano.

Answer 1

Con $$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$$ y $$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$ obtenemos $$\int\frac{1}{2t^2+t+2}dt$$ una pista racional intagral: el resultado es $$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{4 t+1}{\sqrt{15}}\right)}{\sqrt{15}}$$

Answer 2

Que sea $t = \tan(\frac{x}{2})$ para que $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\operatorname{d}\!x=\frac{2 \operatorname{d}\!t}{1 + t^2}$$ y la integral se convierte en $$ \int \frac{\operatorname{d}\!t}{2t^2+t+2}=\frac{1}{2}\int \frac{\operatorname{d}\!t}{\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}=8\int \frac{\operatorname{d}\!t}{\left(\frac{4t+1}{\sqrt{15}}\right)^2+1} $$ Entonces, poniendo $u=\frac{4t+1}{\sqrt{15}},\,\operatorname{d}\!u=\frac{4}{\sqrt{15}}\operatorname{d}\!t$ obtenemos $$ \frac{2}{\sqrt{15}}\int \frac{\operatorname{d}\!t}{u^2+1}=\frac{2}{\sqrt{15}}\arctan u+\text{constant}. $$ Finalmente tenemos $u=\frac{4t+1}{\sqrt{15}}=\frac{4\tan(\frac{x}{2})+1}{\sqrt{15}}$ y la integral es $$ \int\frac{\operatorname{d}\!x}{4+\sin x}=\frac{2}{\sqrt{15}}\arctan\left(\frac{4\tan(\frac{x}{2})+1}{\sqrt{15}}\right)+\text{constant} $$

Answer 3

Puedes usar:

$u = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{2u}}{{1 + u^2 }} \\ dx = \frac{{2du}}{{1 + u^2 }} \\ x = 2\arctan u \\ \end{array} \right.$

Answer 4

Podemos reescribir su integral como $$ \int \frac{2i\, e^{ix}}{e^{2ix} + 8i \, e^{ix} - 1}dx $$ Podemos hacer la sustitución $u = e^{ix}$ para reescribir esto como $$ \int \frac{2}{u^2 + 8i\,u - 1}\,du $$ Esta es ahora la integral de una expresión racional, que puede ser evaluada usando fraciones parciales.

Answer 5

$$a > \left| b \right|;\frac{{2\pi }}{{\sqrt {a^2 - b^2 } }} = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{d\theta }}{{a + b\sin \theta }}} $$