Cómo evaluar $\lim_{x\to 0} (1+2x)^{1/x}$

Question

¡Buenas noches chicos! Estoy teniendo algunos problemas con esto:

$$\lim_{x\to 0} (1+2x)^{1/x}$$

Sé que $\lim_{x\to\infty} (1 + 1/x)^x = e$ pero no sé si debo tomar $h=1/(2x)$ o $h=1/x$

¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Para problemas como éste, intenta tomar el logaritmo natural de la expresión. Más concretamente, calcula $\ln(\lim_{x\rightarrow 0} (1+2x)^{1/x}) = \lim_{x\rightarrow 0} \ln((1+2x)^{1/x}) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln((1+2x))}{x}$ . Ahora es una forma que le permite aplicar L'Hopital. ¡No para llegar a exponer al final!

Answer 2

Primero encontramos el límite como $x$ se acerca a $0$ de la a la derecha .

Dejemos que $y=\frac{1}{2x}$ . Entonces $2x=\frac{1}{y}$ y $\frac{1}{x}=2y$ . Queremos $$\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{2y}.$$ Este es el cuadrado del conocido $$\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}.$$ Concluimos que $$\lim_{x\to 0^+}\left(1+2x\right)^{1/x}=e^2.$$

Limitar desde la izquierda es más problemático con este enfoque. Dejemos que $1+2x=\frac{t}{1+t}$ . Entonces $\frac{1}{x}=-2\frac{1+t}{t}$ . Así que estamos buscando $$\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{\left(1+t\right)^{-2(1+t)/t}},$$ que es $$ \lim_{t\to 0^+}\left(1+t\right)^{2(1+t)/t}.$$ Ahora funciona un argumento muy parecido al anterior. El límite de la izquierda también es $e^2$ .

Answer 3

$$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)^x=e$$

$(-\infty,0),(0,\infty)\subset\mathbb R-\{0\}=\text{domain}\displaystyle\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$ Así que $\displaystyle\lim_{x\to0+}(1+x)^\frac{1}{x}=\displaystyle\lim_{x\to0-}(1+x)^\frac{1}{x}=e.$

Ahora $0$ es un punto límite de ambos $(-\infty,0)$ y $(0,\infty)\implies\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e.$ Dejemos que

$$f:\mathbb R-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto2x,\\g:\mathbb R-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto(1+x)^\frac{1}{x}$$

$f(\mathbb R-\{0\})\subset\mathbb R-\{0\}\implies gf:\mathbb R-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto(1+2x)^\frac{1}{2x}$ se define y $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0$ siendo un punto límite de $\mathbb R-\{0\}$ y $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=e,$ tenemos $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^\frac{1}{2x}=e.$

En consecuencia, $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^\frac{1}{2x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\left((1+2x)^\frac{1}{2x}\right)^2=e^2.$