¿Hay alguna manera más fácil de resolver este problema integral?

Question

Tengo la siguiente integral:

$$F(t) = \int_0^b (\sqrt{2 + t} - 2) dt$$

Necesito encontrar un valor positivo de $b$ tal que $F(t) = 0$ .

Repasando los pasos de integración y utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, termino con

\begin{align} 0 & = (\frac{2}{3}\sqrt{(2 + t)}^3 - 2t) |_0^b \\ & = (\frac{2}{3}\sqrt{(2 + b)}^3 - 2b) - (\frac{2}{3}\sqrt{2}^3) \\ \Rightarrow \frac{4\sqrt{2}}{3} & = \frac{2}{3}\sqrt{(2 + b)}^3 - 2b \end{align}

Pero aislar $b$ aquí es muy complicado, y WolframAlpha da una solución muy fea. Hace tiempo que no tomo clases de cálculo, pero siento que me falta algo obvio.

Answer 1

Si cambia la variable $b=x^2-2$ la ecuación se convierte en $$ \frac{2 x^3}{3}-2 x^2+4\big(1-\frac{ \sqrt{2}}{3}\big)=0$$ que se puede resolver con radicales utilizando el método de Cardano.

Pero, hay una raíz "obvia" $x_1=\sqrt 2$ (recuerde que esto corresponde a $b=0$ que es una solución trivial del problema). Entonces, lo que queda es una ecuación cuadrática $$\frac{2 x^2}{3}+\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}-2\right) x-\big(2 \sqrt{2}-\frac{4}{3}\big)=0$$ cuyas raíces son $$x_2=\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{2}-\sqrt{3+6 \sqrt{2}}\right)$$ $$x_3=\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{2}+\sqrt{3+6 \sqrt{2}}\right)$$ La raíz $x_2$ debe ser descartado ya que es negativo y el único que queda es entonces $x_3$ ; así, tras las simplificaciones, $$b=x_3^2-2=\frac{1}{2} \left(3+\sqrt{48 \sqrt{2}-39}\right)\approx 4.18711$$ que se acerca bastante a la respuesta de Shailesh.