¿Bajo qué condiciones en $a,b,c,d$ a la función $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ ser uno a uno en su dominio?

Question

Deje $c$ $d$ ser números reales, no ambos cero, y deje $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$. A continuación, $f$ es una función de $S\to\mathbb R$ donde $$ S = \{ x \in\mathbb R : cx + d \neq 0\}. $$ Bajo qué condiciones $a$, $b$, $c$, y $d$ $f$ ser uno-a-uno?

Pregunta en una reciente clase de pruebas de examen. El estudio de la teoría de conjuntos y en/uno a uno las funciones. Yo no era capaz de averiguar cómo probar si esta función será de uno a uno y de las condiciones en $a$, $b$, $c$, y $d$.

Answer 1

Si $ac = 0$, entonces cualquiera de las $a = 0$ o $c = 0$ o $a = c = 0$. Si $a = 0$, entonces si $b = 0, f(x) = 0$ y no es uno a uno. Por lo $b$ debe ser distinto de cero. si $c = 0$,$f(x) = (ax + b)/d = ax/d + b/d$. Claramente $f$ es uno a uno si $a$ es distinto de cero. Si $a = c = 0$, $f(x) = 0$ y no es uno a uno.

Si $ac$ no es cero, es decir $a$ $c$ no son cero, entonces $$ f(x) = \frac{a(x + b/a)}{c(x + d/c)}. $$ Mira en la parte $(x + b/a)/(x + d/c)$ de $f(x)$. $f$ es uno a uno si esta parte (una función) es también uno a uno. Escribir como: $1 + (b/a - d/c)/(x + d/c)$. A partir de aquí es bastante claro que esta parte y, por tanto, $f(x)$ es uno a uno si $b/a - d/c$ es no cero o $bc - ad$ es no cero.

Para resumir, $f$ es de uno a uno iff: $a = 0$ $b, c$ son no-cero o $c = 0$ $a$ no es cero o $a, c$, e $bc - ad$ todos los no-cero.

Answer 2

Una manera de saber si una función es uno a uno es para ver si tiene una inversa. Así que vamos a suponer que $f$ tiene una inversa -- llamarlo $g$. La función de $g$ tiene que satisfacer a la ecuación

$$x=\frac{ag(x)+b}{cg(x)+d}.$$

Ahora vamos a resolver para $g(x)$. \begin{align*} x\cdot(cg(x)+d)&=ag(x)+b \\ cx\cdot g(x) + dx &= ag(x) + b \\ cx\cdot g(x) - ag(x) &= b-dx \\ g(x)\cdot(cx-a)&=(b-dx) \\ g(x) &= \frac{b-dx}{cx-a}. \end{align*}

Si $f$ es uno-a-uno, a continuación, debe haber una relación inversa y a la inversa debe ser dada por la fórmula anterior. La única razón por la que la fórmula para $g(x)$ podría no funcionar es si eran indefinido en algún momento, si es que podemos enchufe en algunos $x\in S$ que nos hace dividir por cero. Es decir, $f$ no se puede uno-a-uno precisamente al $cx-a=0$ algunos $x\in S$. En otras palabras, $f$ es uno-a-uno precisamente al $cx-a\neq0$ todos los $x\in S$.

Hay dos casos.

1. Si $c=0$$cx-a=-a$, y es distinto de cero si y sólo si $a\neq0$. De manera inversa existe cuando $c=0$, $a\neq0$. ¿Qué acerca de la $b$$d$? No hay condiciones adicionales, excepto que nosotros no podemos tener $d=0$, ya que en ese caso se estaría dividiendo por cero en la definición de las $f$ (y tendríamos $S=\varnothing$). Bajo estas circunstancias, la función $f$ es una línea con un valor distinto de cero pendiente, lo que es claramente uno-a-uno.
2. Si $c\neq0$$cx-a=0$$x=a/c$. En este caso, $f$ es uno a uno si y sólo si $a/c\notin S$, si y sólo si $c(a/c) + d = 0$, si y sólo si $a=-d$. La variable $b$ puede ser elegido arbitrariamente como una de $a$ $b$ es distinto de cero (de lo contrario $f$ sería igual a cero). Bajo estas circunstancias, la función $f$ es un hyperboloid (una desplazado a la versión de la gráfica de $y=1/x$) que se alinean correctamente, de modo como para ser uno-a-uno.

En resumen, hay dos situaciones en las $f$ es de uno a uno:

1. $a\neq 0$, $b\in\mathbb R$, $c=0$, $d\neq0$.
2. $a\in\mathbb R$, $b\in\mathbb R$, $c\neq0$, $d=-a$, y uno de $a$ o $b$ es distinto de cero.

¿Que sentido?

Answer 3

Si la función es inyectiva debe preservar la distinción.

Si conserva la distinción entonces una función inversa existe, únicamente que mapea la imagen de la x vuelta a sí mismo. $\forall x \in \mathbb{S}, x \mathop{\longmapsto}^{f^{-1}\circ f} x$

Suponiendo que la función es inyectiva, encontrar esta función inversa, $f^{-1}: f^{-1}(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{S}$.

Que $y=f(x)$

$ y = \frac{ax+b}{cx+d} \implies y(cx+d)=(ax+b) \implies (yc-a)x=(b-yd) \implies x=\frac{b-yd}{yc-a}$

$\therefore f^{-1} : y \mapsto -\frac{dy-b}{cy-a}$

Pruebas de conservación de la distinción.

$f^{-1}\circ f : x \mapsto -\frac{d\frac{ax+b}{cx+d}-b}{c\frac{ax+b}{cx+d}-a}$

$f^{-1}\circ f : x \mapsto -\frac{d(ax+b)-b(cx+d)}{c(ax+b)-a(cx+d)}$, desde $(cx+d)\neq 0, \forall x \in \mathbb{S} $

$f^{-1}\circ f : x \mapsto -\frac{(ad-bc)x}{cb-ad}$

$\therefore f^{-1}\circ f : x \mapsto x \iff (cb-ad\neq 0) $