¿Me podría decir como demostrar que si el espacio métrico $(X,d)$ es compacto, luego el grupo $Iso(X,d)$ es también compacto?
El grupo $Iso(X,d)$ se considera con topología determinada por una métrica $\rho$ $Iso(X,d)$ tal que $\lim _{n \rightarrow \infty} \rho(hn, h) =0 \iff \forall x \in X: \lim {n \rightarrow \infty} d(h_n(x), h(x))=0$
Ayer estuve involucrado en este hilo. Con la esperanza de aclarar algunas de las reivindicaciones, tengo algunas cosas que decir, así que me decidí a crear una nueva respuesta en lugar de escribir de los grandes comentarios.
Voy a utilizar las siguientes notaciones. Poner $Y=\operatorname{Iso}(X,d)$. Considero que el siguiente tres topologías definidas en el conjunto de $Y$: la topología $\tau_u$ de la convergencia uniforme, la topología $\tau_p$ de la pointwise convergencia, y la topología $\tau_\rho,$ determinado por la métrica $\rho$.
Debo señalar que la condición de $$(*) \lim _{n \rightarrow \infty} \rho(h_n, h) =0 \ffi \forall x \in X: \lim _{n \rightarrow \infty} d(h_n(x), h(x))=0,$$ no es una definición de la métrica $\rho$, es una propiedad de la métrica. Así surgen una pregunta: "¿cómo las topologías $\tau_u$, $\tau_p$, y $\tau_\rho$ en el conjunto de $Y$ están relacionados?", que voy a contestar en mi respuesta. :-)
@Cameron Buie escribió:
Para mostrar que $\langle Y,\rho\rangle$ es un espacio métrico completo, supongamos que nos tienen un $\rho$-Cauchy secuencia de funciones $h_n\in Y.$ Mostrar que para cada una de las $x\in X,$ hemos que $h_n(x)$ $d$- Cauchy secuencia de puntos de $X$. Desde $X$ es un espacio compacto bajo el $d$-métrica de la topología, entonces es completa, por lo $h_n(x)$ converge en $X$. Definir $h:X\to X$ $h(x)=\lim_{n\to\infty}h_n(x).$ Muestran que $h\in Y,$ y que $\lim_{n\to\infty}\rho(h_n,h)=0,$ $\langle Y,\rho\rangle$ es un espacio métrico completo.
Para mí fue más fácil demostrar estas afirmaciones, en el orden opuesto, :-) mi respuesta aquí.
@Sandy escribió:
¿Por qué es $Iso(X,d)$ cerrado en $X^X$?
Supongamos que un mapa de $h$ está contenida en el conjunto de $X^X\backslash Y$. Voy a encontrar un abrir vecindario $U$ de los map $h$ (en la topología de pointwise convergencia en $X^X$), tal que la intersección $U\cap Y$ está vacía. En primer lugar supongo que el mapa de $h$ no es isométrica del espacio $(X,d)$. Entonces existen puntos de $x,y\in X$ tal que $d(h(x),h(y))\not=d(x,y)$. A continuación, basta con poner $\varepsilon=|d(h(x),h(y))-d(x,y)|$ y $U=\{g\in X^X: d(g(x),h(x))<\varepsilon/2$ $d(g(y),h(y))<\varepsilon/2\}$. Si el mapa de $h$ es isométrica, sino $h$ está todavía en $X^X\backslash Y$, entonces el mapa $h$ no es surjective. Por lo tanto, no existe un punto de $x\in X\backslash h(X)$. Fijar un número $\varepsilon>0$ tal que $\varepsilon<d(x,h(X))$. Desde $X$ es un métrico compacto, existe un número finito de $\varepsilon/2$-net $F$ $X$ $F$ es un subconjunto finito de $X$ tal que para cualquier punto de $y\in X$ existe un punto de $z\in F$ tal que $d(x,z)<\varepsilon/2$. Poner $U=\{g\in X^X: (\forall z\in F)(d(g(z),h(z))<\varepsilon/2)\}$. Supongamos que existe un mapa de $g\in U\cap Y$. Poner $y=g^{-1}(x)$. Desde el set $F$ $\varepsilon/2$- net $F$$X$, existe un punto $z\in F$ tal que $d(y,z)<\varepsilon/2$. Desde el mapa de $g$ es una isometría del espacio $(X,d)$, Tengo que $d(g(y),g(z))=d(y,z)<\varepsilon/2$. Pero, a continuación, $d(x, h(z))=d(g(y),h(z)) \le d(g(y),g(z))+$ $d(g(z),h(z))< \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$, una contradicción.
Por lo tanto, el espacio de $(Y,\tau_p)$ es compacto.
Ahora me muestran que las topologías $\tau_u$ $\tau_p$ coinciden. La inclusión $\tau_p\subset\tau_u$ es obvio, por lo que se apoya para demostrar lo contrario de inclusión. Deje $h\in Y$ $\varepsilon>0$ ser arbitraria. Voy a encontrar un abrir vecindario $U\in\tau_p$ de los map $h$ tal que $d(g(x),h(x))<\varepsilon$ por cada mapa de $g\in U$, y cada punto de $x\in X$. Desde $X$ es un métrico compacto, existe un número finito de $\varepsilon/3$-net $F$$X$. Poner $U=\{g\in Y: (\forall z\in F)(d(g(z),h(z))<\varepsilon/3)\}$. Deje $g\in U$ $x\in X$ ser arbitraria. Desde el set $F$ $\varepsilon/3$- net $F$$X$, existe un punto $z\in F$ tal que $d(x,z)<\varepsilon/3$. Puesto que los mapas $g$ $h$ son isometrías del espacio $(X,d)$, Tengo que $d(g(x),h(x))\le d(g(x),g(z))+d(g(z),h(z))+$ $d(h(z),h(x))= d(x,z)+d(g(z) h(z))+d(z,x)<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon.$
Por lo tanto, $\tau_u=\tau_p$.
¿Cómo demuestro que $\tau_\rho\subset\tau_u$. Supongamos lo contrario. Entonces existe un punto $h\in Y$ y un número de $\varepsilon>0$ tal que para cada número natural no es un punto de $h_n\in Y$ tal que $d(h_n(x),h(x))<1/n$ por cada $x\in X$, pero $\rho(h_n,h)\ge\varepsilon$. A continuación, una secuencia $\{h_n\}$ uniformemente converge a $h$. Luego de la propiedad (*) implica que $\rho(h_n,h)$ converge a $0$, contradiciendo la desigualdad $\rho(h_n,h)\ge\varepsilon$.
Desde el espacio de $(Y,\tau_u)$ es compacto y $\tau_\rho$ es un Hausdorff la topología en $Y$ más débil de lo $\tau_u$$\tau_\rho=\tau_u$, por el conocido Teorema de 3.1.10 de [Eng].
@julien escribió:
es métrica si existe un compacto de agotamiento del espacio en el cual la isometrías ley. Siendo el caso si no hay tal agotamiento existe? Si es separable, Veo que. Pero de otra manera...
... debería ser un contraejemplo. Deje $X$ ser un innumerable conjunto dotado de una métrica $d$ tal que $d(x,y)=0$ si $x=y$ $d(x,y)=1$ en el caso opuesto. A continuación, $\operatorname{Iso(X,d)}$ es un grupo de $S(X)$ de todos los bijections del conjunto $X$. El grupo $S(X)$ dotado con el pointwise topología tiene una base $\{[A]:A$ es un subconjunto finito de $X\}$, donde $[A]=\{g:\in S(X):(\forall x\in A)g(x)=x\}$. Por lo tanto, este grupo topológico debe ser que no metrizable (ni siquiera un primer contables).
En el último me permito citar el comienzo de un trabajo reciente [BGP] por mi asesor científico Taras Banakh, mi asesor científico de Igor Guran, y bien conocido en ucrania círculos de álgebra topológica Igor Protasov: "En este artículo damos respuesta a varios problemas de Dikran Dikranjan sobre algebraicamente determinado topologías en el grupo $S(X)$ de permutaciones de un conjunto $X$.$\dots$ El grupo simétrico $S(X)$ lleva un grupo natural de la topología, es decir, la topología de pointwise convergencia $\tau_p$, heredado de la Tychonoff poder $X^X$ del conjunto de $X$ dotado de la topología discreta.$\dots$ Respondiendo a una pregunta de Ulam [Sco, p.178](cf. [Ula]), Gaughan [Gau] demostró que para cada conjunto $X$ la topología $\tau_p$ es el más áspero Hausdorff grupo de la topología en la grupo simétrico $G=S(X)$ (cf. [DPS, 1.7.9] y [Dik, 5.2.2])".
Referencias
[BGP] Taras Banakh, Igor Guran, Igor Protasov. Algebraicamente determinado topologías de permutación los grupos, de la Topología de Appl. 159:9 (2012) 2258-2268
[Dik] D. Dikranjan, Introducción a la topológicos, grupos, (libro en preparación).
[DPS] D. Dikranjan, I. Prodanov, L. Stoyanov, grupos Topológicos. Los personajes, las dualidades y un mínimo grupo de topologías, Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1990.
[Esp] Ryszard Engelking. Topología General (versión en ruso, 1986).
[Gau] E. Gaughan, las estructuras de los grupos de infinito grupos simétricos, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 58 (1967), 907-910.
[Sco] D. Mauldin (ed.), El Escocés Libro. Las matemáticas de los Escoceses Caf\'e, Birkhauser, Boston, Mass., 1981.
[Ulam] S. Ulam, Una Colección de Problemas Matemáticos, Intersci. Publ., Nueva york, 1960.
Sin la precisa definición de la métrica $\rho$, no estoy seguro de cómo responder a esta definitivamente, pero permítanme esbozar un enfoque que usted puede ser capaz de tomar. Para este enfoque, las tomo como una suposición tácita de que el Principio de Dependiente de Opciones que tiene, así que para mostrar que $Y:=\text{Iso}(X,d)$ es compacto (considerado como un espacio métrico con la métrica $\rho$), es suficiente para mostrar que es completo y totalmente acotado.
Para mostrar que $\langle Y,\rho\rangle$ es un espacio métrico completo, supongamos que tenemos una $\rho$-Cauchy secuencia de funciones $h_n\in Y.$ Mostrar que para cada una de las $x\in X,$ tenemos que $h_n(x)$ $d$- Cauchy secuencia de puntos de $X$. Desde $X$ es un espacio compacto bajo el $d$-métrica de la topología, entonces es completa, por lo $h_n(x)$ converge en $X$. Definir $h:X\to X$ $h(x)=\lim_{n\to\infty}h_n(x).$ Muestran que $h\in Y,$ y $\lim_{n\to\infty}\rho(h_n,h)=0,$ $\langle Y,\rho\rangle$ es un espacio métrico completo.
Para mostrar que $\langle Y,\rho\rangle$ es totalmente acotado espacio métrico, debemos demostrar que para todos los $\epsilon>0$ existe $f_1,...,f_n\in Y$ tal que $Y$ es cubierto por el open $\rho$-bolas acerca de $f_1,...,f_n$ radio $\epsilon$. Sin una definición para $\rho,$ me temo que no tengo sugerencias de cómo proceder con este.
Edit: Si julien es correcta en su comentario anterior, que simplemente eres considerando $Y$ en la topología de pointwise convergencia (que, en retrospectiva, parece que son), entonces no estoy seguro de que es necesariamente inducida por la métrica. Afortunadamente, se puede proceder sin tener que preocuparse acerca de esa medida.
Vamos a proceder de la siguiente manera, en su lugar. Denota el conjunto de todas las funciones $X\to X$$X^X$. Dado un punto de $x\in X$ y un balón $B$ $X,$ definimos $$P(x,U):=\{f\in X^X:f(x)\in U\},$$ and let $\mathcal B$ be the set of all sets of the form $$P(x_1,B_1)\cap\cdots\cap P(x_k,B_k)$$ for some positive integer $k$, with the $x_j\en X$ and the $B_j$ open balls in $X$. You can show that $\mathcal B$ is a basis for a topology on $X^X$, say $\mathcal T$, which is the set of unions of $\mathcal B$-sets. We call $\mathcal T$ la topología de pointwise convergencia, debido a las siguientes
Lema: Si $h_n$ es una secuencia de funciones de $X\to X$$h:X\to X$, $h_n\to h$ con respecto a la topología $\mathcal T$ si y sólo si $h_n(x)\to h(x)$ por cada $x\in X$.
Prueba: Supongamos $h_n(x)\to h(x)$ todos los $x\in X$, y tomar las $\mathcal B$-basic barrio de $h$, que será de la forma $$P(x_1,B_1)\cap\cdots\cap P(x_k,B_k)$$ for some $x_j\en X$ and some open balls $B_j$ with $h(x_j)\en B_j$. Since $h_n(x_j)\h(x_j)$, then there exists $n_j$ such that $h_n(x_j)\en B_j$ for $n\ge n_j$. Putting $N=\max\{n_1,...,n_k\}$, we therefore have for $n\ge N$ that $$h_n\in P(x_1,B_1)\cap\cdots\cap P(x_k,B_k).$$ Thus, $h_n\h$ with respect to $\mathcal T$.
Por otro lado, supongamos que $h_n\to h$ con respecto al $\mathcal T$. Tomar cualquier $x\in X$ y cualquier balón $B$ $X$ tal que $h(x)\in B$. Desde $P(x,B)$ $\mathcal T$- barrio de $h$$h_n\to h$, entonces hay algunas $N$ tal que $h_n\in P(x,B)$$n\ge N$, lo $h_n(x)\in B$ todos los $n\ge N$. Por lo tanto, $h_n(x)\to h(x)$ para todos los $x\in X$. $\Box$
Ahora, julien se refiere al Teorema de Tychonoff (muy útil teorema que requiere el Axioma de Elección para probar) en su comentario anterior. Realmente sólo necesitamos el siguiente caso especial:
Teorema: $X^X$ es compacto en la topología de pointwise convergencia si (y sólo si) $X$ es compacto.
"Sólo si" parte es bastante fácil de probar, y si usted está interesado, puedo probar la otra dirección (aunque puede ser un poco de un oso a probar sin necesidad de usar otra forma del Teorema de Tychonoff).
Por lo tanto, todo lo que queda para usted que hacer es demostrar que $Y$ es un cerrado subespacio de $X^X$, a partir de la cual el resultado de la siguiente manera.
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