La desigualdad de $a+b+c \geqslant abc +2$

Question

Asumiendo $a,b,c \in (0, \infty)$, tenemos que demostrar que:

$$a+b+c \geqslant a b c+2 \quad \text{if} \quad ab+bc+ca=3$$

Me puedes dar una idea, por favor? Esta desigualdad parece ser conocido, pero no he podido resolverlo.

Answer 1

Vamos a empezar por la aplicación de AM-GM:

$$\frac{ab+bc+ca}{3}=1 \ge (abc)^\frac{2}{3}$$ $$ 1 \ge abc$$ Además tenemos que $$3\ge abc+2 \tag1$$ Por otro lado tenemos
$$ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)=9 $$ $$a+b+c \ge 3 \tag2$$

De $(1)$ $(2)$ se obtiene la necesaria desigualdad $$a+b+c \ge abc+2$$

Q. E. D.

Answer 2

Resolver para $c$ a partir de la restricción: $$ c = \frac{3 - a, b}{a+b} $$ y sustituya en la desigualdad: $$ a + b + \frac{3-a, b}{a+b} \geqslant 2 + \frac{a b(3-b)}{a+b} \implica \frac{3 + a^2 b^2 + a^2 + b^2 -2 b-2a -2b+3}{a+b} \geqslant 0 $$ Multiplicar ambos lados por $(a+b)$: $$ 3 + a^2 b^2 + a^2 + b^2 -2 b-2a -2b+3 \geqslant 0 $$ El lado izquierdo se puede reducir a desplazado a la suma de los cuadrados: $$ (b-2)^2 + (a+b-1)^2 - 2 \geqslant 0 $$ Es fácil ver que el lado izquierdo alcanza su mínimo en $a=b=1$, donde la desigualdad está saturado.

Answer 3

Para $x,y,z \geq 0 $, $ f(x,y,z) = x+y+z $ dado que, $xy+yz+xz =3 = \phi(x, y, z)$

$$ \nabla f = \lambda \nabla \phi $$

$$ 1 = \lambda (y+z) \hspace {2 cm} (1) $$ $$ 1 = \lambda (x+z) \hspace {2 cm} (2) $$ $$ 1 = \lambda (x+y) \hspace {2 cm} (3) $$ $$ xy+yz+xz =3 \hspace{2 cm} (4)$$ Solveing $(1), (2), (3), \text{ and } (4)$ somos, $x=y=z=1$, por lo que el valor mínimo de $f(x, y, z) = x+y+z$ bajo la restricción $xy+yz+xz = 3$ $ 1 + 1 + 1 = 3$

De nuevo $g(x, y, z) = xyz + 2$ $$ \nabla g = \lambda \nabla \phi $$

$$ yz = \lambda (y+z) \hspace {2 cm} (5) $$ $$ xz = \lambda (x+z) \hspace {2 cm} (6) $$ $$ xy = \lambda (x+y) \hspace {2 cm} (7) $$ $$ xy+yz+xz =3 \hspace{2 cm} (4)$$ La solución de estos obtenemos $x=y=z=1$, el valor máximo de $g(x, y, z) = 1\cdot 1 \cdot 1 + 2 = 3 $
Ya, $ \text{ min }( f) = \text{ max}(g) $, $a+b+c \geq abc+2$

Espero que no existe un método mejor!!

Answer 4

Es fácil ver que $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$.Denotando $S=a+b+c$ cand deducir de esto que el $S\geq 3$.

Conectar $x=ab$, $y=bc$, $z=ca$ llegamos $9\geq 3abc(a+b+c)$, lo $abc \leq \frac{3}{a+b+c}$.Eso es suficiente para demostrar que $a+b+c \geq \frac{3}{a+b+c}+2$.

La última desigualdad es equivalente a $S^2-2S-3 \geq 0$ que es cierto que desde $S\geq 3$.