Gavilla de cohomología y cohomología singular.

Question

Deje $X$ ser un colector, $\mathcal{F}$ ser un abelian gavilla en $X$. Se puede considerar que la etale espacio de $F$ de $\mathcal{F}$, que es distinto de la unión de los tallos, en cuya topología es generado por las secciones locales.

Hay algo de la relación entre la gavilla cohomology de $\mathcal{F}$ y cohomology de espacio topológico $F$?

(Es decir, hay una relación entre la $H^i(X,\mathcal{F})$ y singular cohomology de $H^i(F,\mathbb{Z})$? O en una mejor situación, al $\mathcal{F}$ es localmente constante $\Lambda=\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$ gavilla, ¿hay relación entre el $H^i(X,\mathcal{F})$ e $H^i(F,\Lambda)$? )

Answer 1

Si $\mathcal F$ es localmente constante gavilla de paja $\Bbb Z/\ell \Bbb Z$, el étalé espacio de $F$ es un grado $\ell$ portada, y el monodromy de esta cubierta $f : F \to X$ está dado por $\mathcal F$. Lo que usted puede decir es, básicamente, que para cualquier $j$, hay un isomorfismo $$H^j(F, \underline{\Bbb Z}) \cong H^j(X,f_*\underline{\Bbb Z}) \ \ \ \ (*)$$

Esto es más o menos la deseada relación, ya que $f_*\underline{\Bbb Z}$ es "moralmente" $\mathcal F$. (**)

---

Vamos a hacer dos ejemplos con $X = S^1$ e $\ell = 2$. Siempre nos escriba $f : F \to X$ para la proyección de la étalé espacio a $X$.

Ejemplo 1 :

Tomamos el trivial del sistema local. El étalé espacio es $F = S^1 \sqcup S^1$, por lo que el cohomology de $F$ es $\Bbb Z^2$ grado $0$ e $1$. Ahora, desde la $f_*\Bbb Z = \Bbb Z \oplus \Bbb Z$, $(*)$ es trivialmente verificado.

Ejemplo 2 :

Ahora suponemos $\mathcal F$ no trivial monodromy. Tenemos $F = S^1$ y el mapa de proyección es $z \mapsto z^2$. El lado izquierdo es $\Bbb Z$ grado $0$ e $\Bbb Z$ grado $1$.

Ahora podemos calcular el lado derecho. La gavilla $\mathcal f_*\Bbb Z$ tiene tallos $\Bbb Z^2$ y los dos componentes son permutados por el monodromy, decir $T$. Se puede comprobar que para cualquier sistema local $L$ con monodromy $T : V \to V$ ($V$ es el tallo en $1 \in S^1$ de $L$) de los siguientes complejos calcula el monodromy : $0 \to V \overset{T - id}{\to} V \to 0$. En nuestro caso, esta es la compleja $$0 \to \Bbb Z^2 \overset{\pmatrix{-1 & 1 \\ 1 & -1}}{\to} \Bbb Z^2 \to 0$$

que ha cohomology $\Bbb Z$ grado $0$ e $1$, como se esperaba.

---

(*) Más precisamente, se han coeficientes diferentes, pero el mismo monodromy en un punto de $x \in X$ : tenemos $(f_*\underline{\Bbb{Z}})_x \cong \Bbb Z \oplus \dots \oplus \Bbb Z$ ($\ell$ veces) canónicamente una vez que usted escoja un poco de orden en la fibra $f^{-1}(x)$ e $\pi_1(X;x)$ hechos por permuting estos copiar como $\mathcal F$. En una más pedante manera : el natural bijection entre la base canónica de $(f_*\underline{\mathbb Z})_x$ e $\mathcal F_x$ es $\pi_1(X,x)$-equivariant.