$p\in(1,\infty)$, ¿Por qué $||f||_p=||g||_p=\left|\left|\frac{f+g}{2}\right|\right|_p$ implica que el $f=g$?

Question

Declaración Del Problema.

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Probar que si $\mu$ es una medida, $p\in(1,\infty)$ e $f,g\en L^p(\mu)$ son tales que $$||f||_p=||g||_p=\left|\left|\frac{f+g}{2}\right|\right|_p,$$, a continuación, $f=g$.

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La notación.

Para medir el espacio $(X,\mathcal{S},\mu)$ e $p\in(0,\infty]$ (donde $\mathbf{F}$ es llevado a ser $\mathbf{R}$ o $\mathbf{C}$):

1. $L^p(\mu)=\{\tilde{f}: f\in\mathcal{L}^p(\mu)\}$

2. $\mathcal{L}^p(\mu)=\{f:X\rightarrow\mathbf{F}: f \text{ is } \mathcal{S}\text{-measurable and } \int f\,d\mu<\infty\}$

3. $\tilde{f}=\{f+z: z\in\mathcal{Z}(\mu)\}$ donde $\mathcal{Z}(\mu)$ es el conjunto de $\mathcal{S}$medible de las funciones de $X$ a $\mathbf{F}$ que la igualdad de $0$ en casi todas partes.

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Mis Pensamientos.

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo esto es incluso un ejercicio, y aquí es por qué. Definimos $$||\tilde{f}||_p=||f||_p$$ for $p\en (0,\infty].$ Thus even though the $f$ and $g$ given are actually $\tilde{f}$ and $\tilde{g}$, it doesn't matter since $||\tilde{f}||_p=||f||_p$ and $||\tilde{g}||_p=||g||_p$, thus implying that $||f||_p=||g||_p$. But if this is the case then $$\left(\int |f|^p\,d\mu \right)^{1/p}=\left(\int |g|^p\,d\mu \right)^{1/p}.$$ How could that possibly be the case if $f\neq g$? I would say I'm done at this point, but clearly I am missing something. I didn't even use the last equality, i.e. $$\left|\left|\frac{f+g}{2}\right|\right|_p.$$ Así que lo que me estoy perdiendo aquí? Debe haber algo estoy malentendido!

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

El p-norma $f \mapsto \|f\|_p$ es estrictamente convexa (edit : como una norma en un espacio vectorial, no como una función), debido a la desigualdad de Minkowski.

Se nota de $\| \cdot \|=\| \cdot \|_p$ por conveniencia.

Si $f \ne \lambda g$ sobre un conjunto de medida positiva para todos los $\lambda >0$, entonces para todos los $t \in (0,1)$ :

$$\|t f +(1-t)g\|<t\|f\| +(1-t)\|g\|.$$

Pero, habiendo $\|f\|=\|g\|$ ser igual a $\left\|\frac{f+g}2 \right\|$ es imposible. De hecho, poniendo a $t = 1/2$ rendimientos :

$$\left\|\frac{f+g}2 \right\|<\frac 1 2 (\| f \| + \|g \|) =\|f\|=\|g\|.$$

A continuación, $f= \lambda g$, pero desde $\|f\|=|\lambda| \|g\|$ e $\lambda >0$, a continuación, $\lambda = 1$.

Así que debemos tener $f=g$ a.e. .