Cómo probar que $(-18+\sqrt{325})^{\frac{1}{3}}+(-18-\sqrt{325})^{\frac{1}{3}} = 3$

Question

Cómo probar que $\left(-18+\sqrt{325}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(-18-\sqrt{325}\right)^{\frac{1}{3}} = 3$ en forma directa ?

Yo he encontrado una forma indirecta de hacerlo: Definir $t=\left(-18+\sqrt{325}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(-18-\sqrt{325}\right)^{\frac{1}{3}}$, y, a continuación, observe $t$ es una raíz de $f(x) = x^3 + 3x - 36 = 0$. También se observa que la $f(3) = 0$. Ahora $f(x)$ tiene sólo una raíz real, ya que $f'(x) = x^2+3$ no tiene solución real. Por lo $t =3$, como se desee.

Pero no pude encontrar ningún daño directo/algebraicas manera de tocar el violín por un tiempo. Supongo además que esto es cierto: $\left(-\frac{t(t^2+3)}{2}+\sqrt{\left[\frac{t(t^2+3)}{2}\right]^2 + 1}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(-\frac{t(t^2+3)}{2}-\sqrt{\left[\frac{t(t^2+3)}{2}\right]^2 + 1}\right)^{\frac{1}{3}} = t$, lo que, posiblemente, puede ser probado de la misma manera indirecta, pero no sé cómo demostrarlo mediante la manipulación directa.

Una manera tal vez es escribir $z_+ = \left(-\frac{t(t^2+3)}{2}+\sqrt{\left[\frac{t(t^2+3)}{2}\right]^2 + 1}\right)^{\frac{1}{3}}$, $z_- = \left(-\frac{t(t^2+3)}{2}-\sqrt{\left[\frac{t(t^2+3)}{2}\right]^2 + 1}\right)^{\frac{1}{3}}$, y la escritura $t = z_+ + z_-$, observe $z_+z_- = -1$, lo $(x-z_+)(x-z_-) = x^2 - tx -1$, y luego con el Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos, tal vez el cálculo de $(z_+^3 - z_-^3)^2$ e $(z_+^3 + z_-^3)$ en términos de $t$ sería de ayuda ?

Answer 1

Calcular el <span class="math-container">$$\left(\frac{3+\sqrt{13}}2\right)^3=18+5\sqrt{13}.$ $</span> por tanto <span class="math-container">$$\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}=\frac{3+\sqrt{13}}2.$ $</span> semejantemente <span class="math-container">$$\sqrt[3]{\pm 18\pm 5\sqrt{13}}=\frac{\pm 3\pm\sqrt{13}}2$ $</span> donde corresponden los signos de ambos lados. Entonces <span class="math-container">$$ \sqrt[3]{-18+ 5\sqrt {13}}-\sqrt [3] {-18-5\sqrt {13}} =\frac{-3+\sqrt{13}}2+\frac{-3-\sqrt{13}}2=-3.$$</span>

Answer 2

Deje que la primera raíz es $A$ y la segunda se $B$, entonces tenemos que encontrar el valor de $A + B = x$

1. $A^3 + B^3 = -36$
2. $AB = -1$

Expanda el cubo: $A^3 + B^3 = (A+B)*(A^2 - AB + B^2) = (A+B)*((A+B)^2-3AB) = x*(x^2+3) = x^3 + 3x = -36$.

Fácil adivinar $x = -3$

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Otro enfoque: suponga que usted tiene un cubo debajo de la raíz, a continuación, decir, que tomamos a la derecha en la ecuación donde el factor de al menos: $18 + 5\sqrt{13} = (a+b\sqrt{13})^3$

Entonces tienes que resolver el sistema de ecuaciones hecho de corresponder a los sumandos con el $\sqrt{13}$ y sin:

1. $a^3 + 39ab^2 = 18$
2. $3a^2b + 13b^3 = 5$

Wolfram rendimientos $a = 1.5$ e $b = 0.5$, por cálculos de la mano me llevó a ninguna parte

Answer 3

Ayuda mucho a los que sabemos la respuesta de antemano! De lo contrario, algunos la suerte de conjeturas (o el conocimiento de la teoría algebraica de números) es necesario.

Uno puede seguir una bastante similar línea de razonamiento a Rafael Bombelli (c.1526-1572). Ver Bombelli y la invención de los números complejos; o que mi respuesta a una pregunta anterior aquí; o la sección 14.3, "Ecuaciones Cúbicas", de John Stillwell el libro de Matemáticas y Su Historia (segunda edición 2002 - hay una tercera edición, que no tengo).

Sabemos que si $a$ e $b$ son racionales, y $(a + b\sqrt{13})^3 = c + d\sqrt{13}$, a continuación, $(a - b\sqrt{13})^3 = c - d\sqrt{13}$. Así que es natural de la idea - y mucho menos "radical" salto de Bombelli (si me permiten el juego de palabras) - buscar racional $a, b$ tal que $(a + b\sqrt{13})^3 = 18 + 5\sqrt{13}$. A continuación, tendremos $\sqrt[3]{18 + 5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18 - 5\sqrt{13}} = 2a$.

Sabemos de inmediato que $a = \frac{3}{2}$. (La honestidad me obliga a admitir que al principio me pasa por alto este hecho obvio!) Igualando los coeficientes de número irracional $\sqrt{13}$ en la versión ampliada de cualquiera de las ecuaciones de definición de $a, b$, tenemos $a^3 + 39ab^2 = 18$, que se simplifica a $\frac{9}{4} + 39b^2 = 12$. Tomando $b > 0$, por definición, tenemos $b = \frac{1}{2}$. Ahora sólo necesidad comprobar que $3a^2b + 13b^3 = 5$, es decir, $3a^2 + 13b^2 = 10$, para ver que el la definición de las ecuaciones de $a, b$ son realmente satisfecho.