¿Es cierto que$F$ es un campo si y solo si$F[X]$ es un dominio euclidiano?

Question

Pregunta: Vamos a $F$ ser un anillo conmutativo con identidad. Es cierto que $F$ es un campo si y sólo si $F[X]$ es un dominio Euclídeo?

Si $F$ es un campo, claramente uno puede hacer el algoritmo de la división para demostrar que $F[X]$ es un dominio Euclídeo. Lo que me desconcierta es a la inversa, es decir, si $F[X]$ es un dominio Euclídeo, podemos concluir que $F$ es un campo?

Mi intento: Deje $u\in F$ ser un elemento distinto de cero. Considere la posibilidad de $1,u\in F[X].$ Desde $F[X]$ es una ED, existen $f(X),r(X)\in F[X]$ tales que $$1 = uf(X) + r(X)$$ donde $\deg(r(X))<\deg(f(X)).$ Desde la constante polinomio $1$ tiene el grado $0,$ se sigue que $\deg(f(X)) = 0.$ Denotar $f(X) = v\in F.$ Desde $\deg(r(X))<\deg(f(X)) = 0,$ implica que $r(X) = 0.$ Por lo tanto, tenemos $$1 = uv.$$ Por lo tanto, $u$ es una unidad y por lo tanto $F$ es un campo.

Es mi intento anterior correcta?

Answer 1

No, eso no es correcto. Estás usando Euclidiana de la División de mal. Por un lado, se tendría que concluir que $\deg(r(x)) < \deg(u)$, no $\deg(f(x))$. Esto en realidad podría implicar que $r(x) = 0$, y por lo tanto que $f(x)$ fue una inversa de a$u$, y, por tanto, tendría que ser en $F$, lo que implica que $F$ es un campo. Pero, como el Señor de Tiburón de los puntos Desconocidos, esto depende suponiendo que el grado es la distancia Euclídea función. Ya que no podemos hacer esto, tenemos que encontrar algún otro enfoque.

Es en realidad más fácil de probar una versión más fuerte de la declaración, es decir, que si $F[x]$ es un PID, a continuación, $F$ es un campo. Si $F[x]$ es un PID, $F$ debe ser integral, de dominio, de tal manera que $F[x]/\langle x \rangle \cong F$ implica que $\langle x \rangle$ es primo. Desde distinto de cero el primer ideales son máximas en un PID, se deduce que el cociente $F[x]/\langle x \rangle \cong F$ es en realidad un campo, y así hemos terminado.