¿Por qué no es equivalente la representación fundamental y la fundamental en $SL(2,\mathbb{C})$?

Question

Actualmente estoy aprendiendo simetrías/teoría de grupo y me enteré de que los fundamentales de la representación y de la anti-fundamental de la representación de $SL(2,\mathbb{C})$ no son equivalentes. Esto significa que no existe similitud transformación puede asignar una de ellas a la otra.

Mi profesor nos dio una explicación (en la 2ª último párrafo de la página 75 de los siguientes documentos http://www-pnp.physics.ox.ac.uk/~tseng/docencia/b2/b2-conferencias-2018.pdf), pero no veo cómo la diferencia en los signos en el exponente implica que las representaciones son no equivalentes.

¿Alguien puede por favor explicar la explicación de mi profesor, o tal vez dar otra explicación?

Answer 1

Esta pregunta probablemente será migrado a las Matemáticas SE, pero voy a publicar esta respuesta de todos modos para limpiar mi conciencia, después de @marmota me ayudó a ver la falla en la respuesta que he publicado anteriormente.

$SL(2,\mathbb{C})$ es el grupo de $2\times 2$ matrices con determinante $1$. Esta forma de definir proporciona una representación mediante $2\times 2$ matrices. Para obtener la otra representación, podemos reemplazar todas estas matrices por sus complejos conjugados. El reclamo es que estas dos representaciones son no equivalentes. En otras palabras, el argumento es que no es invertible la matriz de $S$ que satisface $$ M = S^{-1}M^*S \etiqueta{1} $$ para todos los $2\times 2$ matrices $M$ con $\det M=1$. La ecuación (1) puede escribirse también $$ SM = M^*S. \etiqueta{2} $$ Ahora, considere las matrices de la forma $$ M = \left(\begin{matrix} z & 0 \\ 0 & 1/z\end{de la matriz}\right) \etiqueta{3} $$ con un complejo número de $z\neq 0$. Esto ha $\det M=1$, y no es distinto de cero de la matriz $S$ que satisface (2) para todas las matrices de la forma (3). Esto puede ser demostrado por la escritura de la mayoría de los generales de la matriz $S$ y sustituyendo en (2) con $M$ dada por (3).