Necesaria pero no suficiente para mostrar $f$ es mensurable.

Question

Estoy tratando de mostrar que si <span class="math-container">${ x\in [a, b] | f(x) =c} $</span> es medible para todos <span class="math-container">$ c\in \mathbb{R} $</span> no es suficiente para demostrar que <span class="math-container">$f$</span> es medible en <span class="math-container">$[a, b] $</span>. \ Posible enfoque: pensé si define un conjunto no medible y definir <span class="math-container">$ f$</span> evaluar si <span class="math-container">$ x $</span> es en el sistema o no.

Answer 1

Yo creo que tu idea es buena. No tome un conjunto medible $A\subseteq [a,b]$ y definen $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f(x)=x$ si $x$ es de $A$ e $f(x)=x+b-a+1$ si $x$ es de $[a,b]\setminus A$. A continuación, $f$ es inyectiva por lo que para cada $c$ en $\mathbb{R}$, $f^{-1}(\{c\})$ está vacía o un punto y, en particular, medibles. Pero $f^{-1}([a,b])=A$ no es medible por lo $f$ no es mensurable.