Encontrar los valores máximo y mínimo de una función en un dominio

Question

Encuentra los valores máximo y mínimo de la función $f(x, y) = 2x^2+3y^2-4x-5$ en el dominio $x^2+y^2\le 225$.

Después de encontrar las primeras derivadas parciales, descubrí que el punto crítico era $(1, 0)$ y que era un mínimo local según la prueba de la segunda derivada. Por lo tanto, el valor mínimo de $f(x, y)$ sería $-7$ en el punto $(1, 0)$.

Sin embargo, lo que me confunde es cómo encontrar el valor máximo y el punto. Dado que esta función no tiene un punto máximo local, pensé que la respuesta simplemente estaría en los límites de la desigualdad. Sin embargo, parece que ni el punto $(15, 0)$ ni $(0, 15)$ dan la respuesta correcta.

¡Si alguien sabe cómo debería abordar este problema y puede proporcionar retroalimentación, estaría muy agradecido!

Answer 1

Según el método de los parámetros de Lagrange, el gradiente de $f$ será normal a la frontera en un valor extremo. La normal al círculo en un punto dado $(x,y)$ es simplemente el vector de posición $(x,y)$, por lo que hay que buscar puntos donde $\nabla f$ sea un múltiplo de ese vector.

Ahora

$$\nabla f =\left ( \array{4x-4 \\ 6y} \right) $$ lo que significa que estamos buscando $x, y$ que cumplan con $ 4x-4 = \lambda x, 6y= \lambda y$ con la condición lateral $x^2+y^2=225$

Esto es cierto si ($\lambda = 6$ o $y=0$).

Si $\lambda = 6$ fácilmente se ve que entonces $x=-2$ y $y$ está determinado por la condición lateral.

Si $y=0$ $x$ está determinado por la condición lateral (y $\lambda$ por la ecuación para $x$ y $\lambda$).

Sustituyendo $x$ y $y$ en la función se mostrará si tienes un máximo o un mínimo.

Answer 2

Como dice la persona en el comentario, el límite del dominio es la circunferencia del círculo $ x^2 + y^2 = 225 $, no solo los dos puntos. Dado que la función tiene un mínimo en $(1,0)$ y no tiene otros puntos críticos en la región, significa que la función aumenta en todas direcciones desde ese punto. Entonces, el máximo de la función estará en uno de los puntos de la circunferencia. Ahora, si el punto está en la circunferencia, estará en la circunferencia del círculo y satisfará la ecuación $ x^2 + y^2 = 225 $. Al poner esto en la ecuación de la función, obtenemos

$$ f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 -4x -5 $$ $$ 2x^2 + 3(225 - x^2) -4x -5 $$ $$ g(x)=-x^2 -4x + 670 $$

Ahora puedes diferenciar para descubrir dónde tendrá su máximo esta función

$$ g'(x) = -2x - 4 = 0 $$ $$ x=-2 $$

Como se puede confirmar rápidamente desde la ecuación original o el gráfico de una ecuación cuadrática, este es un máximo. Usando esto para encontrar $ y $

$$ y^2 = 225 - x^2 = 225 -4 = 221 $$ $$ y = \sqrt{221} $$

Poniendo $ x=-2 $ y $ y=\sqrt{221} $ nuevamente en la función original

$$ f(x,y) = 674 $$

Answer 3

Si no sabes, o no quieres utilizar, los Multiplicadores de Lagrange como en la respuesta de Thomas, y quieres encontrar los extrema locales en el límite para asegurarte de no perder nada, entonces puedes manejar los extremos con $x=\pm15$ que Sauhard Sharma no abordó en su respuesta, o puedes darle a la circunferencia una parametrización más natural.

Las circunferencias pueden ser parametrizadas con cosenos y senos, por lo que la circunferencia $x^2+y^2=225$ se parametriza como $x=15\cos t,\, y=15\sin t$. Si sustituyes esto en la función objetivo $2x^2+3y^2-4x-5$, verás cómo los valores de la función por encima de la circunferencia dependen del ángulo $t$, y luego puedes usar cálculo de una variable para encontrar los extrema locales. Dado que el coseno y el seno son continuos en toda la recta real, no tienes que preocuparte por perder los extremos con este método.

Answer 4

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