Encontrar los valores máximo y mínimo de una función en un dominio

Question

Encuentra los valores máximo y mínimo de la función $f(x, y) = 2x^2+3y^2-4x-5$ en el dominio $x^2+y^2\le 225$.

Después de encontrar las primeras derivadas parciales, encontré que $(1, 0)$ era un punto crítico y descubrí que era un mínimo local por la prueba de la segunda derivada. Por lo tanto, el valor mínimo de $f(x, y)$ sería $-7$ en el punto $(1, 0)$.

Sin embargo, lo que me confunde es cómo encontrar el valor y punto máximo. Dado que esta función no tiene un punto máximo local, pensé que la respuesta estaría simplemente en los límites de la desigualdad. Sin embargo, parece que ni el punto $(15, 0)$ ni $(0, 15)$ dan la respuesta correcta.

¡Si alguien sabe cómo debería abordar este problema y puede brindar retroalimentación, estaría muy agradecido!

Answer 1

Según el método de los parámetros de Lagrange, el gradiente de $f$ será normal a la frontera en un valor extremal. La normal al círculo en un punto dado $(x,y)$ es simplemente el vector posición $(x,y)$, por lo que debes buscar puntos donde $\nabla f$ sea un múltiplo de ese vector.

Ahora

$$\nabla f =\left ( \array{4x-4 \\ 6y} \right) $$ lo que significa que estamos buscando $x, y$ tales que $ 4x-4 = \lambda x, 6y= \lambda y$ con la condición lateral $x^2+y^2=225$

Esto es cierto si ($\lambda = 6$ o $y=0$).

Si $\lambda = 6$ fácilmente ves que entonces $x=-2$ y $y$ está determinado por la condición lateral.

Si $y=0$ $x$ está determinado por la condición lateral (y $\lambda$ por la ecuación del $x$ y $\lambda$).

Sustituir $x$ y $y$ en la función mostrará si tienes un máximo o un mínimo.

Answer 2

Como dice el chico en el comentario, el límite del dominio es la circunferencia del círculo $x^2 + y^2 = 225$, no solo los dos puntos. Dado que la función tiene un mínimo en $(1,0)$ y no hay otros puntos críticos en la región, significa que la función aumenta en todas direcciones desde ese punto. Entonces el máximo de la función estará en uno de los puntos del límite. Ahora, si el punto está en el límite, estará en la circunferencia del círculo y satisfará la ecuación $x^2 + y^2 = 225$. Al poner esto en la ecuación de la función, obtenemos

$$f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 -4x -5$$ $$2x^2 + 3(225 - x^2) -4x -5$$ $$g(x)=-x^2 -4x + 670$$

Ahora puedes diferenciar para descubrir dónde tendrá su máximo

$$g'(x) = -2x - 4 = 0$$ $$x=-2$$

Como puedes confirmar rápidamente a partir de la ecuación original o el gráfico de una ecuación cuadrática, este es un máximo. Usándolo para obtener $y$

$$y^2 = 225 - x^2 = 225 -4 = 221$$ $$y = \sqrt{221}$$

Poniendo $x=-2$ y $y=\sqrt{221}$ de nuevo en la función original

$$f(x,y) = 674$$

Answer 3

Si no sabes, o no quieres usar, Multiplicadores de Lagrange como en la respuesta de Thomas, y quieres encontrar los máximos y mínimos locales en el límite para asegurarte de no perderte nada, entonces puedes manejar los extremos con $x=\pm15$ que Sauhard Sharma omitió en su respuesta, o puedes darle a la circunferencia una parametrización más natural.

Las circunferencias pueden ser parametrizadas con cosenos y senos, así que la circunferencia $x^2+y^2=225$ es parametrizada por $x=15\cos t,\, y=15\sin t$. Si sustituyes esto en la función objetivo $2x^2+3y^2-4x-5$, verás cómo los valores de la función por encima de la circunferencia dependen del ángulo $t$, y luego puedes usar cálculo de una variable para encontrar los máximos y mínimos locales. Dado que el coseno y el seno son continuos en toda la recta real, no tienes que preocuparte por perder los extremos con este método.

Answer 4

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