Comparación de las integrales

Question

Bajo qué condiciones en $f$ podemos concluir la siguiente desigualdad:

$$\left(\int_a^b f \, \mathrm{d}x\right)^2 \leq \int_a^b f^2 \, \mathrm{d}x.$$

De Cauchy-Schwarz se veía atractiva en primer lugar: $$\left(\int_a^b fg \, \mathrm{d}x \right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2 \, \mathrm{d}x\right)\left(\int_a^b g^2 \, \mathrm{d}x\right).$$ Establecimiento $g \equiv 1$, obtenemos $$\left(\int_a^b f \, \mathrm{d}x \right)^2 \leq (b-a)\left(\int_a^b f^2 \, \mathrm{d}x\right),$$ así que si $b - a \leq 1$, hemos terminado. Pero, ¿qué acerca de la cantidad de intervalos? Creo que la respuesta radica en una forma más inteligente de sustitución/manipulación. Siéntase libre de citar como muchas de las más poderosas de las desigualdades como usted desea. Toda la integración que se hace en el sentido de Riemann, pero sus respuestas con las de Lebesgue son bienvenidos.

Answer 1

Para $f \in L^2[a,b]$ hemos, $$\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f \, \mathrm{d}x\right)^2 \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f^2 \, \mathrm{d}x.$$ by Jensen's Inequality for integrals. ($\phi(x)=x^2$ es convexa.)

Esto implica, $$\left(\int_a^b f \, \mathrm{d}x\right)^2 \leq (b-a)\int_a^b f^2 \, \mathrm{d}x.$$ Por lo tanto, si tenemos $(b-a) \leq 1$, luego tenemos la desigualdad original. Por otro lado, supongamos que la desigualdad se mantenga para todas las $f \in L^2[a,b]$ $f(x)=1$ rendimientos $(b-a)^2 \leq (b-a) \implies (b-a) \leq 1$.

Por lo tanto, la condición de $(b-a)\leq 1$ es suficiente y necesario.

$\textbf{Edit}:$ La igualdad de aquí se produce si y sólo si $f$ es constante. Así, debemos tener una desigualdad estricta si $f$ no es constante.