Incertidumbre cero en los componentes del momento angular en el átomo de hidrógeno

Question

Se da que L y Lz,Lx,Ly conmutan. (L es el momento angular total, Lx es el momento angular a lo largo del eje x). Entonces, puedo conocer simultáneamente el valor de digamos L y Lz. Pero, si realizo un gran número de mediciones y en una determinada medición obtengo el valor de L = Lz, entonces sé con certeza que Lx y Ly son 0. Pero, según el principio de incertidumbre, no puedo conocer los valores exactos de dos de Lx, Ly y Lz. Entonces, ¿en qué me he equivocado?

Answer 1

No puedes conseguir

$$\left\lVert\vec L\right\rVert = L_z $$

para los casos en los que el valor es distinto de cero $l$ , ya que:

$$\left\lVert\vec L\right\rVert = \hbar\sqrt{l(l+1)} $$

mientras que el valor máximo de $L_z$ est

$$ (L_z)_{\mathrm{max}} = \hbar l $$

También: El estado máximo es:

$$ Y_l^l(\theta, \phi) \propto \sin^l{\theta}e^{il\phi} $$

que no es un estado propio de $L_x$ , ni $L_z$ .

Answer 2

La respuesta de JEB es correcta: no se puede hacer un gran número de mediciones para que por suerte en una de ellas se encuentre

$$||\vec L|| = L_z$$

Se podría intentar de otra manera: como el marco de referencia es arbitrario, se podría simplemente elija teniendo el eje z paralelo al vector de momento angular. Esto tampoco funcionará, porque para hacerlo habría que saber hacia dónde apunta el vector de momento angular, y esto requeriría conocer simultáneamente sus tres componentes.

Answer 3

Para añadir a los demás,

L no conmuta con $L_x$ , $L^2$ lo hace. Además, uno es un operador escalar, el otro es un vector.

El momento angular es el producto del vector posición por el vector momento. Así que este escenario puede servir como ejemplo prototípico del principio de incertidumbre que surge en una sola entidad.

Para ampliar lo anterior, si eliges al azar un vector unitario un número infinito de veces, nunca coincidirá la dirección del momento angular.