La idoneidad de la prueba estadística depende de la hipótesis de investigación. Si, como sugiere en su pregunta, la hipótesis de investigación es que existe una diferencia de medias entre al menos dos grupos cuando hay estrictamente más de dos grupos que comparar, entonces la $F$ -prueba derivada del ANOVA es una prueba apropiada bajo supuestos adicionales, porque la hipótesis nula sería $$H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k$$ donde $k > 2$ representa el número de grupos, y $\mu_i$ es la verdadera media del grupo $i$ . Nivel A $\alpha$ controlaría el error de tipo I para la hipótesis alternativa (de investigación). Pero el resultado de dicha prueba no le diría formalmente qué grupos difieren entre sí en un sentido de pares; de ahí la necesidad de la prueba Tukey post hoc o puede utilizar la prueba de pares $t$ pruebas con corrección de multiplicidad.
Como ilustración de la importancia de la hipótesis de investigación, si se tiene un grupo de control con el que se comparan diferentes tratamientos, se podría utilizar la prueba de Dunnett en lugar del ANOVA, ya que las únicas comparaciones de interés son las de los tratamientos con el control, no las de los tratamientos entre sí.
La cuestión central que subyace a la posterior identificación de diferencias estadísticamente significativas entre pares tras una prueba ómnibus es la de las comparaciones múltiples; por ejemplo, incluso con tan solo $4$ grupos, tendría $\binom{4}{2} = 6$ comparaciones por pares y el error de tipo I se inflaría sin una corrección de multiplicidad como el ajuste de Bonferroni.
Para hacer simplemente pruebas por pares antes de En mi opinión, el ANOVA sería desaconsejable desde el punto de vista del rigor estadístico, aunque, como he insinuado, no es el defecto metodológico más grave. Puede ser útil para fines exploratorios, pero el ajuste por comparaciones múltiples es absolutamente necesario para hacer afirmaciones inferenciales que puedan resistir el escrutinio.
Una nota final: un " $t$ La "prueba" no requiere una suposición de varianzas iguales; la prueba de Welch $t$ (utilizando la estimación de Satterthwaite de los grados de libertad) es una forma de abordar el problema de las varianzas desiguales de los grupos, y el estadístico de la prueba se compara con un test de Student $t$ distribución, por lo que consideraría que una $t$ prueba.
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No necesariamente, para utilizar una prueba t se necesita una suposición de varianzas iguales, por lo que se puede utilizar una prueba F para determinar si la suposición de varianza igual se mantiene. Así que en este caso una prueba F es un precursor de una prueba t.