Comprensión geométrica de restar lambda de diagonales

Question

Dada la definición de autovalores/vectores propios:

$Av = \lambda v $

usted podría arreglar los términos a ser:

$(A - \lambda I)v = 0$

Geométricamente, la primera ecuación dice que la multiplicación por $A$ es el mismo que el vector de escala de $v$ por $\lambda$. Sin embargo, en la segunda ecuación, ¿cómo se puede visualizar el efecto de restar la matriz $\lambda I$ a partir de la matriz $A$ y cómo hace que inducen a un linealmente dependiente conjunto de vectores de la base?

TL;DR: yo entiendo que la nueva matriz $(A-\lambda I)$ colapsa el lapso de $v$ en una menor dimensión, pero no entiendo cómo la $A$ se refiere a $(A-\lambda I)$ geométricamente.

Answer 1

¿Puedo preguntarle ¿qué se entiende por relación geométrica o de la visualización? Lo que dijo

$(A-\lambda I)$ colapsa el lapso de $v$ en una dimensión inferior

es exactamente como lo visualizas. Para ser más precisa, se elimina completamente la imagen de ${\rm span}(v)$. Por lo tanto, la co-espacio de ${\rm span}(v)$ es posiblemente trivial actuar.

La acción en el resto de los co-espacio también se modifica, es decir, restando $\lambda$ veces el vector de entrada de la imagen, $Aw - \lambda w$ (para $w \perp v$). En el caso de que $v$ tiene multiplicidad geométrica de uno, entonces esto sólo sucede a no ser derrumbado a cero.