$\tan^2 10^\circ+\tan^2 50^\circ+\tan^2 70^\circ=9$

Question

Más extraño...*:

$$\tan^2 10^\circ+\tan^2 50^\circ+\tan^2 70^\circ=9\tag{1}$$

El truco, como siempre, es la forma de demostrarlo.

Mi idea es agregar una "falta" de la tangente y analizar una expresión similar:

$$\tan^2 10^\circ+\tan^2 30^\circ+\tan^2 50^\circ+\tan^2 70^\circ$$

...y luego atacar a esta suma de a pares (primero y el último término, segunda y tercera). A pesar de que tengo el mismo ángulo ($80^\circ$) de aquí y de allá, tengo prácticamente de la nada con este enfoque.

El otro hecho interesante es que (1) puede escribirse como:

$$\cot^2 20^\circ+\cot^2 40^\circ+\cot^2 80^\circ\tag{1}$$

...y ahora los ángulos están en buen progresión geométrica. Ese es el vector de ataque que estoy tratando de explotar ahora, pero tal vez usted puede entretener a ti mismo un poco demasiado.

*Tomado de "los sospechosos de siempre"

Answer 1

Puede escribirlo como $$\cot^220^\circ+\cot^240^\circ+\cot^260^\circ+\cdots+\cot^2160^\circ=\frac{56}3$ $ que tiene ocho múltiplos de $180^\circ/9$ , y puede encontrar una ecuación similar para otros números en lugar de $9$ .