¿Por qué mi solución es incorrecta para resolver estas ecuaciones cuadráticas?

Question

$$\frac2x -\frac5{\sqrt{x}}=1 \qquad \qquad 10)\ \frac3n -\frac7{\sqrt{n}} -6=0$$

Tengo estos dos problemas. Para el primero que crear una variable ficticia, $y = \sqrt x$ entonces $y^2 = x$.
Sustituyendo en la primera ecuación, me sale: $\displaystyle \frac{2}{y^{2}} - \frac{5}{y} = 1$
Multiplicando ambos lados por $y^{2}$ recibir: $2 - 5y = y^{2}$
Así que he a$y^{2} +5y-2=0$
De problemas y el uso de completar el cuadrado, me sale: $\displaystyle y = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$
Así que debo plaza esta respuesta para obtener $x$ desde $y^2 = x$
A continuación mis respuestas $\displaystyle y = \frac{58}{4} \pm \frac{10\sqrt{33}}{4}$
Pero esta no es la solución correcta.

También para $\#10$ yo hago lo mismo:

Deje $y = \sqrt n$ entonces $y^2 = n$
Así que he a$\displaystyle \frac{3}{y^2} - \frac{7}{y} -6 = 0$
Multiplicando todo por $y^{2}$ me da $3 -7y - 6y^2 = 0$
Así que he a$6y^{2} +7y - 3 = 0$
La solución para $y$ utilizando el método de amortización de recibir: $\displaystyle y = -\frac{3}{2}, \frac{1}{3}$
A continuación, $n = \frac{9}{4}, \frac{1}{9}$
Pero de conectar estas de vuelta, mi solución no funciona.

He estado haciendo un montón de cuadráticas utilizando variables ficticias y a veces funcionan y a veces no.

Aquí está una lista de mis problemas solo para tener alguna referencia:

$A$1)\ (x-7)^2 -13(x-7) +36=0 \qquad \qquad 4)\ 3(w/6)^2 -8(w/6) +4=0 \\ 2)\ (1-3x)^2 -13(1-3x) +36=0 \qquad \qquad 5)\ 3(w^2-2)^2 -8(w^2-2) +4=0 \\ 3)\ x^4 -13x^2 +36=0 \qquad \qquad 6)\ \frac{3}{p^2} -\frac{8}{p} +4=0$$

¿Qué estoy haciendo mal y cómo puedo hacer este tipo de problemas utilizando variables ficticias?

Answer 1

Tienes que prestar atención a tu dominio. En la primera ecuación, obtienes un valor positivo y otro negativo para $y$ , mientras que $\sqrt{x}$ , que es tu sustitución, solo puede ser positivo.

Answer 2

Estás haciendo tu álgebra correctamente, el único problema es que cuando tienes un valor positivo y negativo para una raíz cuadrada, debes ignorar la negativa.

Revisé la respuesta $$ x= \frac {58-10 \sqrt {33}}{4}$ $ para tu primer problema y funciona bien.

Answer 3

En su caso, la sustitución de $x = y^2$ podría introducir extrañas raíces. Entonces usted necesita para comprobar que su calculada respuestas son realmente las respuestas.

Sin ningún tipo de sustitución, podría escribir $\dfrac2x -\dfrac5{\sqrt{x}}=1$ como

$$2 \left(\dfrac{1}{\sqrt x}\right)^2 - 5\left(\dfrac{1}{\sqrt x}\right)-1 = 0$$

Por lo $$\dfrac{1}{\sqrt x} = \dfrac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$$

Podemos ignorar $\dfrac{1}{\sqrt x} = \dfrac{5 - \sqrt{33}}{4}$ desde el número en el lado derecho es negativo.

Así, obtenemos $$\sqrt x = \dfrac{4}{5+\sqrt{33}}= \dfrac{\sqrt{33}-5}{2}$$

y $$x = \dfrac{29-5\sqrt{33}}{2}$$

Problema $(5)$ por ejemplo, puede ser escrito como

\begin{align} 3\color{red}{(w^2-2)}^2 -8\color{red}{(w^2-2)} + 4 &= 0 \\ (3\color{red}{(w^2-2)} - 2)(\color{red}{(w^2-2)} - 2) &= 0 \\ w^2-2= \dfrac 23 &\text{ or } w^2-2 = 2 \\ w^2 = \dfrac 83 &\text{ or } w^2 = 4 \\ w &\in \left\{\dfrac 23 \sqrt 6, -\dfrac 23 \sqrt 6, 2, -2 \right\} \end{align}

Usted puede resolver de la misma forma con los demás.

Answer 4

Basado en los comentarios de algunos de sus problemas parecían estar en la comprobación de respuestas y otros probable que un problema en la aritmética (incluso los más grandes, a veces creo $1+1=3$ cada ahora y entonces, pero no puedo hablar por ellos). He aquí un consejo que tengo para la comprobación de las respuestas a cuadráticas.

Por lo general usted tiene algo de la forma:

$$Ax^2 + Bx + C = 0$$

Lo único que necesita saber es cero. Así que lo que hice fue esto. Yo no multiplicar todo. He conectado lo suficiente para comprobar. Así que decir que D = x. Yo podría hacer lo siguiente:

$$DAx + Bx + \frac CD x = 0$$

Ahora usted acaba de tomar la suma de $DA + B + \frac CD$ que se puede hacer mentalmente con más alta de la escuela práctica de problemas.

En el caso de $(x-7)^2 - 13(x-7) + 36 = 0$ esto hace que sea mucho más fácil de comprobar $11$ e $16$ como respuestas.

Como para general cuadráticas su estilo y la técnica es buena. No veo ningún error en tu pensamiento aparte de ser cuidadoso acerca de la parte de atrás de sustituciones. Definitivamente ver la caída de los negativos y la adición de ellos. Haciendo su propio nuevo problema podría introducir necesita pensar cuidadosamente sobre el Plano Complejo si no se tiene cuidado. Sin embargo, la elección de una adecuada sustituciones es un arte y uno realmente no puedo describir con un proceso o respuesta. La mayoría de las personas, a su nivel, no sustituciones y así definitivamente su pensamiento fuera de la caja. Esta es una buena cosa. Yo no sabía si sustituciones hasta el Cálculo y se hace muy difícil de entender que el concepto (de la creación de una nueva variable en la mosca), así que felicitaciones a usted.

Answer 5

Las otras respuestas no señalar la lógica lagunas en su razonamiento. Es mencionado en tu pregunta, pero es de suponer que usted desea encontrar no negativo real $x$ que satisface la ecuación dada, así que para cualquiera de dichas $x$ puedes dejar a $y = \sqrt{x}$, y, a continuación, usted sabe que $y^2 = x$. Por lo tanto, si usted sustituto $x$ por $y^2$ entonces las soluciones de la ecuación original son soluciones de la nueva ecuación. Pero la nueva ecuación puede tener más soluciones que la original!

Mira un simple ejemplo de la primera: Si usted desea solucionar $\sqrt{x} = x-2$ real $x \ge 0$, el cuadrado de los rendimientos $x = (x-2)^2$ con soluciones de $x = 1$ o $x = 4$. Pero $1 = (x-2)^2$ sí no implica que $1 = x-2$, así que usted debe ver por qué usted no puede concluir que la ecuación original tenía las mismas soluciones. También es incorrecto sólo excluye las soluciones basadas en el 'dominio', como en este ejemplo se muestra claramente.

Simbólicamente, ( $x \in \mathbb{R}_{\ge0}$ e $\frac2x - \frac5{\sqrt{x}} = 1$ e $y = \sqrt{x}$ ) implica ( $x \in \mathbb{R}_{\ge0}$ e $\frac2x - \frac5{\sqrt{x}} = 1$ e $y^2 = x$ ) y, por tanto, implica ( $y \in \mathbb{R}$ e $\frac2{y^2} - \frac5y = 1$ e $y^2 = x$ ), pero a la inversa implicaciones hacer no necesariamente. Las consecuencias, no obstante, permiten concluir que todos los $x,y$ satisfactorio ( $x \in \mathbb{R}_{\ge0}$ e $\frac2x - \frac5{\sqrt{x}} = 1$ e $y = \sqrt{x}$ ) también debe satisfacer ( $y \in \mathbb{R}$ e $\frac2{y^2} - \frac5y = 1$ e $y^2 = x$ ), por lo que puede limitar su búsqueda a sólo las soluciones de estos últimos, que son más fáciles de encontrar.