Parábola siempre pasa por dos puntos.

Question

Necesito trazar una parábola a través de dos puntos, pero también necesito poder cambiar el ancho de la parábola. En más detalles, digamos que tengo la parábola:

$f ( x ) = - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { W } + 1$

Y no importa qué $W$ defina, quiero que mi parábola pase por los puntos (0,0) y (1,1), lo cual solo sucede en el caso de que $W=1$.

Supongo que necesito rotar la parábola o mover toda la parábola de alguna manera. Pero no sé cómo hacerlo.

Mi objetivo es aumentar $W$ hasta el infinito hasta obtener una línea recta (casi recta) a través de los puntos mencionados. Y en el futuro, por supuesto, quiero poder manipular esos puntos.

Por cualquier ayuda, gracias de antemano.

Answer 1

Puedes simplemente configurar un sistema de ecuaciones en forma cuadrática:

$$y=ax^2+bx+c$$

Entonces, al sustituir $x$ e $y$ con tus puntos $(0,0)$ y $(1,1)$, obtienes dos ecuaciones:

$$0=a(0)^2+b(0)+c$$ $$1=a(1)^2+b(1)+c$$

Las ecuaciones se simplifican a:

$$c=0$$ $$1=a+b$$

Por lo tanto, el valor de $c$ en tu ecuación cuadrática siempre será 0. El valor de $a$ es el "ancho" de la parábola. A menor valor, más ancha es, a mayor valor, más estrecha. Solo recuerda que cualquiera sea el valor de $a$ que elijas, debes elegir $b$ de tal manera que $a+b=1$, como se ve en la segunda ecuación.

Para obtener la ecuación en términos de $W$, simplemente completa el cuadrado y manipula la forma cuadrática estándar (nota que $c$ es $0$, por lo que excluimos $c$):

$$y=ax^2+bx$$ $$y=a\Big(x^2+\frac{b}{a}x\Big)$$ $$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2}{4a}$$

Ahora, dado que $a+b=1$, entonces $b=1-a$:

$$y=a\Big(x+\frac{1-a}{2a}\Big)^2-\frac{(1-a)^2}{4a}$$

Ahora, simplemente define $W=\frac{1}{a}$ y la ecuación cambiará a:

$$y=\frac{\big(x+\frac{W-1}{2}\big)^2}{W}-\frac{(W-1)^2}{4W}$$

Luego, combina las dos fracciones en una y expande el exponente:

$$y=\frac{4\Big(x^2+(W-1)x+\frac{(W-1)^2}{4}\Big)-(W-1)^2}{4W}$$ $$y=\frac{4x^2+4(W-1)x}{4W}$$ $$y=\frac{x^2+(W-1)x}{W}$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\frac{(W-1)}{W}x$$

¡Y eso es todo! Derivamos la ecuación en términos de $W$. Ahora, simplemente cambiando el valor de $W$ cambiarás el ancho de la parábola. A mayor $W$, más ancha será la parábola, a menor $W$, más estrecha será la parábola. (Al contrario de lo que sucede al cambiar $a$ porque definimos $W=\frac{1}{a}$). La parábola reposará en los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$, como se espera.

También, nota qué sucede cuando incrementas $W$ hasta el infinito. Con un análisis más detallado, y tomando $\lim_{W\to\infty} y$, puedes ver que la ecuación gradualmente se convierte en la línea $y=x$, ¡exactamente lo que predijiste y querías!

Nota: Si necesitaras tres puntos en lugar de dos, no podrás cambiar el ancho de la parábola porque tres puntos describen exactamente una parábola. Con dos puntos tienes infinitas parábolas, de ahí la capacidad de cambiar el ancho.

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EDICIÓN: Respondí rápido, y ahora me di cuenta de que ¡no es necesario completar el cuadrado en absoluto! Simplemente necesitas comenzar con:

$$y=ax^2+bx$$

Luego solo sustituye $b=1-a$, y después $a=\frac{1}{W}$:

$$y=ax^2+(1-a)x$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\Big(1-\frac{1}{W}\Big)x$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\frac{(W-1)}{W}x$$

Lo siento por complicarlo más de lo necesario.

Answer 2

Creo que $$ f(x) = \frac{x(x-1)}{W} + x $$ hará lo que deseas.

Para un $W$ grande, esto será casi recto entre los dos puntos que especificaste. Para un $x$ muy grande (positivo o negativo) crecerá sin límite.

(Esto es lo que sucede si completas el álgebra que @KKZiomek comenzó.)